Smutne prawdopodobieństwo

[musialmi]

Jak obliczyć \(\displaystyle{ P(X>2Y)}\), przy danych: gęstość \(\displaystyle{ g}\) rozkładu łącznego obu zmiennych losowych, rozkłady brzegowe (jako dystrybuanty \(\displaystyle{ F_X, F_Y}\)), niezależność zmiennych losowych?

[robertm19]

Jak masz rozkład łączny, to liczysz jak całkę podwójną po obszarze wyznaczonym z warunku \(\displaystyle{ X>2Y}\)

[musialmi]

\(\displaystyle{ P(X>2Y)=\int_{\{X>2Y\}} 1 \, dP}\) - rozumiem, że od tego trzeba wyjść, a potem z tego zrobić \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^X 2Y \, dYdX}\)?

[robertm19]

A skąd to 2Y? Masz podaną gęstość łączną?

[Spektralny]

\(\displaystyle{ P(X>2Y) =\iint\limits_{x>2y} g(x,y)\,{\rm d}x\,{\rm d}y}\)

[musialmi]

A, że z gęstości całka, no jasne, jasne, to ma sens. Mamy \(\displaystyle{ g(x,y)=xe^{-x(1+y)}}\). A czy wtedy miałem dobry pomysł na granice całkowania? \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^x g(x,y) \, dy \, dx}\)?