Dowód. Nieskończony ciąg zdarzeń

[Lenka0201]

Niech \(\displaystyle{ A_{n}}\) będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń i niech \(\displaystyle{ P(A_{n})=1}\) dla każdego n. Dowieść, że \(\displaystyle{ P(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n)=1.}\)

[Premislav]

Rozważ \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( \left[ \bigcap_{n=1}^{ \infty }A_{n}\right]^{c} \right)=\mathbb{P}\left( \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_{n}^{c} \right)}\): skorzystaj z nierówności Boole'a dla przeliczalnie wielu zdarzeń (łatwo ją uzyskać z nierówności Boole'a dla skończenie wielu i z lematu o ciągłości), by oszacować to z góry, co da oszacowanie z dołu na \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( \bigcap_{n=1}^{ \infty }A_{n} \right)}\) (oszacowanie w drugą strone jest oczywiste).

Pewnie jest prostszy sposób, ale nie che mi się myśleć.

[leszczu450]

\(\displaystyle{ 1- \mathbb{P} \left( \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \right) =\mathbb{P} \left( \left( \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \right)^c \right) =\mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c \right) \le \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P} \left( A_n \right) =0}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \right) =1}\)

Pierwsza równość to inny zapis zdarzenia przeciwnego,druga równość to prawo de Morgana, a nierówność z własności podaddytywności miary.