Po co założenie o niezależności?

[leszczu450]

musialmi, ...

\(\displaystyle{ f_Z \left( t \right) = \left( \left( F_X \left( t \right) \right)^2 \right) '=2 \cdot F_X \left( t \right) \cdot f_X \left( t \right) = 2 \begin{cases} 0 & t<0 \\ t & t \in [0,1] \\ 1 & t>1 \end{cases} \cdot \frac{1}{1-0}1_{(0,1)}(t)=\\=2t 1_{[0,1]}(t)}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Z= \int_{\RR}t \cdot f_Z(t)\dd{t}= \int_{\RR}t \cdot 2t1_{[0,1]}(t)\dd{t}= \int_{0}^{1}2t^2 \dd{t}= \frac{2}{3}}\)

[musialmi]

No tak... Ty to umiesz wyliczyć wartość oczekiwaną!

Mam pytanie jeszcze. Mam informację, że gęstość rozkładu jednostajnego na odcinku to \(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}
\frac{1}{1-0}, & x\in \left\langle 0,1\right\rangle \\
0, & \notin
\end{cases}}\)

No i stąd pewnie wziąłeś \(\displaystyle{ F}\): scałkowałeś \(\displaystyle{ g}\) i wyszło \(\displaystyle{ F(t)=\frac{t}{1-0}}\). Ale całka dla \(\displaystyle{ t>1}\) jest zero, bo \(\displaystyle{ g}\) jest zero. Ale z definicji \(\displaystyle{ F(t)=P(X < t)}\), no to samo się przez się rozumie, że powinno być \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ X}\) nie przekracza tej wartości. Jak się tę nieścisłość uzasadnia?

[leszczu450]

musialmi, nie rozumiem pytania.

Przecież:

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{- \infty}^{t} f(x)\dd{x}=\int_{- \infty}^{t}1_{(0,1)}(x)\dd{x}= \begin{cases} 0 & t<0 \\ \int_0^t \dd{x} & t \in [0,1] \\ 1 & t>1\end{cases}}\)

+ niech nie zmylą Cię tutaj oznaczenia.

[musialmi]

Szukamy \(\displaystyle{ F_X(t)}\) dla \(\displaystyle{ t>1}\):


\(\displaystyle{ F_X(t)=P(X \leq t)}\). \(\displaystyle{ X}\) wynosi maksymalnie \(\displaystyle{ 1}\), więc \(\displaystyle{ F_X(t)=P(X \leq t)=1}\)

\(\displaystyle{ g_X(t)=F'_X(t) \implies F_X(t)=\int g_X(t) \, dt}\), ale dla \(\displaystyle{ t>1}\) funkcja \(\displaystyle{ g_X}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\), więc całka też jest zero.

W tym konkretnym przypadku faktycznie gęstość to indykator, ale na ogół \(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x\in \left\langle a,b\right\rangle \\ 0, & \notin \end{cases}}\) dla rozkładu jednostajnego na odcinku.
Może i zaczynam powoli widzieć o co chodzi, ale nie tak do końca.

[leszczu450]

musialmi, nie. Jak weźmiesz \(\displaystyle{ t>1}\) to (nieformalnie mówiąc) cały indykator wpada do przedziału całkowania. Przyjrzyj się temu:

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{- \infty}^{t} f(x)\dd{x}=\int_{- \infty}^{t}1_{(0,1)}(x)\dd{x}= \begin{cases} 0 & t<0 \\ \int_0^t \dd{x} & t \in [0,1] \\ 1 & t>1\end{cases}}\)

Skąd to pierwsze \(\displaystyle{ 0}\)? Zauważ, że jak \(\displaystyle{ t<0}\) to przedział całki będzie od \(\displaystyle{ - \infty}\) do czegoś mniejszego od zera. Więc jak weźmiesz część wspólną z indykatorem, to wyjdzie nam zbiór pusty! A całka Lebesgue'a po takim zbiorze to zero.

Skąd jedynka? Gdy \(\displaystyle{ t>1}\) to przedział całki jest od\(\displaystyle{ - \infty}\) do czegoś większego od jedności. Zatem jak to przekroisz z indykatorem to będziesz miał przedział od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\).

Coś świta?

[musialmi]

Wszystko świta Ale skoro całe wyjaśnienia opierasz na tym wzorze: \(\displaystyle{ F(x)=\int_{- \infty}^{t} f(x)\dd{x}}\), a ja go niestety nie znam, to muszę wiedzieć skąd to jest

\(\displaystyle{ F(t)=P(X \leq t)=\int_{-\infty}^t 1 \, dP}\) i teraz pewnie z magicznego \(\displaystyle{ \int f(X) \, dP = \int f(x) g(x) \, dx}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest gęstością, mamy \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^t 1 \, dP=\int_{-\infty}^t f(x) \, dx}\)... To ma sens.

No to pozostaje mi tylko podziękować. Dziękuję

[leszczu450]

musialmi, to definicja!!!

[musialmi]

O, faktycznie. Nie kojarzę jeszcze biegle bez wszystkich przejść Dzięki za mnogość wykrzykników na lepszą motywację