prawdopodobienstwo zmieszczenia sie w przedziale liczbowym

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
makuu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 7 maja 2010, o 01:42
Płeć: Mężczyzna

prawdopodobienstwo zmieszczenia sie w przedziale liczbowym

Post autor: makuu »

Witam

Mam do rozwiazania 2 zadania:

1. Z partii kondensatorow elektrolitycznych o ktorych wiadomo ze maja wadliwosc 8% została pobrana 900-elementowa próbka. Wyznacz prawdopodobienstwo tego, ze liczba uszkodzonych kondensatorow bedzie sie zawierac w przedziale 7,6% z 900 i 8,8% z 900 (czyli 68,4-79,2 -domkniety obustronnie).

2. Rzucono 653-krotnie kostką do gry. Wyznacz prawdopodobienstwo tego, ze sumaryczna liczba wyrzuconych oczek zawiera sie w przedziale liczbowym 2207-2386 (domkniety obustronnie).


Przypuszczam ze rozwiazanie tych zadan nie jest nadzwyczaj trudne, ale jakos zupelnie nie moge wpasc na pomysl jak cos takiego rozwiazywac.

Bede wdzieczny za pomoc
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

prawdopodobienstwo zmieszczenia sie w przedziale liczbowym

Post autor: pyzol »

61578.htm
I tak dla pierwszego mamy:
\(\displaystyle{ P(X=1)=p=0.08\\
\mathcal{E}X=p\\
Var(X)=p(1-p)}\)

Obliczamy:
\(\displaystyle{ P\left(68,4 \le \sum_{i=1}^{900}X_i \le 79,2 \right)}\)
Teraz odpowiednio przekształcamy, aby można zastosować jedno z twierdzeń:
\(\displaystyle{ P\left(68,4-np \le \sum_{i=1}^{900}X_i-np \le 79,2-np \right)\\
P\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{\sum_{i=1}^{900}X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)}\)

Zmienna \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{900}X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}}\) ma rozkład bardzo zbliżony do zmiennej \(\displaystyle{ Y\sim \mathcal{N}(0,1)}\).
Wystarczy więc policzyć:
\(\displaystyle{ P\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le Y \le \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)=\Phi\left( \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) -\Phi\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)}\)
\(\displaystyle{ n=900}\)
\(\displaystyle{ \Phi(t)}\) - dystrybuanta rozkładu normalnego.
ODPOWIEDZ