Witam
Mam do rozwiazania 2 zadania:
1. Z partii kondensatorow elektrolitycznych o ktorych wiadomo ze maja wadliwosc 8% została pobrana 900-elementowa próbka. Wyznacz prawdopodobienstwo tego, ze liczba uszkodzonych kondensatorow bedzie sie zawierac w przedziale 7,6% z 900 i 8,8% z 900 (czyli 68,4-79,2 -domkniety obustronnie).
2. Rzucono 653-krotnie kostką do gry. Wyznacz prawdopodobienstwo tego, ze sumaryczna liczba wyrzuconych oczek zawiera sie w przedziale liczbowym 2207-2386 (domkniety obustronnie).
Przypuszczam ze rozwiazanie tych zadan nie jest nadzwyczaj trudne, ale jakos zupelnie nie moge wpasc na pomysl jak cos takiego rozwiazywac.
Bede wdzieczny za pomoc
prawdopodobienstwo zmieszczenia sie w przedziale liczbowym
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
prawdopodobienstwo zmieszczenia sie w przedziale liczbowym
61578.htm
I tak dla pierwszego mamy:
\(\displaystyle{ P(X=1)=p=0.08\\
\mathcal{E}X=p\\
Var(X)=p(1-p)}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ P\left(68,4 \le \sum_{i=1}^{900}X_i \le 79,2 \right)}\)
Teraz odpowiednio przekształcamy, aby można zastosować jedno z twierdzeń:
\(\displaystyle{ P\left(68,4-np \le \sum_{i=1}^{900}X_i-np \le 79,2-np \right)\\
P\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{\sum_{i=1}^{900}X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)}\)
Zmienna \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{900}X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}}\) ma rozkład bardzo zbliżony do zmiennej \(\displaystyle{ Y\sim \mathcal{N}(0,1)}\).
Wystarczy więc policzyć:
\(\displaystyle{ P\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le Y \le \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)=\Phi\left( \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) -\Phi\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)}\)
\(\displaystyle{ n=900}\)
\(\displaystyle{ \Phi(t)}\) - dystrybuanta rozkładu normalnego.
I tak dla pierwszego mamy:
\(\displaystyle{ P(X=1)=p=0.08\\
\mathcal{E}X=p\\
Var(X)=p(1-p)}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ P\left(68,4 \le \sum_{i=1}^{900}X_i \le 79,2 \right)}\)
Teraz odpowiednio przekształcamy, aby można zastosować jedno z twierdzeń:
\(\displaystyle{ P\left(68,4-np \le \sum_{i=1}^{900}X_i-np \le 79,2-np \right)\\
P\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{\sum_{i=1}^{900}X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)}\)
Zmienna \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{900}X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}}\) ma rozkład bardzo zbliżony do zmiennej \(\displaystyle{ Y\sim \mathcal{N}(0,1)}\).
Wystarczy więc policzyć:
\(\displaystyle{ P\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le Y \le \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)=\Phi\left( \frac{79,2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) -\Phi\left( \frac{68,4-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)}\)
\(\displaystyle{ n=900}\)
\(\displaystyle{ \Phi(t)}\) - dystrybuanta rozkładu normalnego.