Ze zbioru losujemy 2 liczby. Ich iloczyn podzielny przez 3/5

[Anxious]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:

Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3 ... 15\right\}}\) losujemy ze zwracaniem \(\displaystyle{ 2}\) liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 5}\).

Wypisuje:
Liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 3: 3, 6, 9, 12}\) są \(\displaystyle{ 4}\)
Liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 5: 5, 10}\) są \(\displaystyle{ 2}\)
Liczby niepodzielne przez żadną wymienionych liczb:\(\displaystyle{ 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}\) jest ich \(\displaystyle{ 8}\)
Zostaje jeszcze liczba \(\displaystyle{ 15}\) podzielna przez obie liczby.

Teraz, gdy przepisywałem to zadanie wpadłem na to, że można po prostu łatwo policzyć to przez prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, aczkolwiek chciałbym znaleźć błąd w moim poprzednim rozumowaniu i byłbym wdzięczny za jego wskazanie.

\(\displaystyle{ \Omega = 15^2 = 225}\)

Możliwości losowania:
- dwie liczby podzielne przez 3: \(\displaystyle{ 4^2}\)
- dwie liczby podzielne przez 5: \(\displaystyle{ 2^2}\)
- jedna liczba podzielna przez 3: \(\displaystyle{ 4 \cdot 8 \cdot 2}\)
- jedna liczba podzielna przez 5: \(\displaystyle{ 2 \cdot 8 \cdot 2}\)
- po jednej liczbie z dzielnikiem 5 i 3: \(\displaystyle{ 4 \cdot 2 \cdot 2}\)
- możliwości wylosowania 15 z dowolną inną liczbą: \(\displaystyle{ 14 \cdot 2}\)
- możliwość wylosowania 15 dwa razy: \(\displaystyle{ 1}\)

Tam gdzie mnożyłem przez 2 na końcu, to dlatego, że jeżeli omegę określam jako wariacje to muszę brać pod uwagę kolejność.

Razem \(\displaystyle{ 147}\) możliwości, czyli brakuje 14 do poprawnego wyniku \(\displaystyle{ P(A) = \frac{161}{225}}\)

Czy ktoś mógłby mi wskazać co pominąłem lub błąd w tym co wymieniłem? Z góry bardzo dziękuje

[macik1423]

Z dodania tego wszystkiego wychodzi 161. Łatwiej może byłoby użyć wzoru \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)

[Anxious]

Łał, rzeczywiście błąd był w sumowaniu ^^ Dzięki. Twoja metoda była by oczywiście lepsza, chciałem po prostu zrobić to tak "manualnie".