Jak sprawdzić, czy zbiory są rozłączne?

[Girion23]

Jak w temacie.

[ZF+GCH]

Znasz definicję?

[Girion23]

Zbióry \(\displaystyle{ A \cap B= 0}\). Ale jak to zastosować w praktyce, gdzie mam podane wartości \(\displaystyle{ P(A)}\) i \(\displaystyle{ P(B)}\)?

[ZF+GCH]

Zbióry \(\displaystyle{ A \cap B= 0}\).

\(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\)

No jeśli tak formułujesz problem, to chyba ciężko odpowiedzieć. Masz wartości funkcji i chcesz coś powiedzieć o argumentach. Wydaje mi się, że można powiedzieć tylko tyle : Gdy \(\displaystyle{ P(A)+P(B)>1}\), to \(\displaystyle{ A \cap B \neq \emptyset}\)

[musialmi]

W prawdopodobieństwie można to wnioskować na podstawie danych. Na przykład jeśli zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) to "wylosowana kula jest biała", a \(\displaystyle{ B}\) to "wylosowana kula jest mała", to zdarzenia te są rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje kula, która jest jednocześnie mała i biała.

[szachimat]

Jeżeli \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)}\)

[Girion23]

Zbióry \(\displaystyle{ A \cap B= 0}\).

\(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\)

No jeśli tak formułujesz problem, to chyba ciężko odpowiedzieć. Masz wartości funkcji i chcesz coś powiedzieć o argumentach. Wydaje mi się, że można powiedzieć tylko tyle : Gdy \(\displaystyle{ P(A)+P(B)>1}\), to \(\displaystyle{ A \cap B \neq \emptyset}\)

Właśnie tego znaczka - przekreślone zero - nie ma w bocznym panelu.

Mamy np. \(\displaystyle{ P(A)=0,17}\), \(\displaystyle{ P(B)=0}\) ...... \(\displaystyle{ P(A)+P(B)<1}\).

I pytanie jest takie: jeśli suma A i B:
• \(\displaystyle{ P(A)+P(B)> 1}\)
• \(\displaystyle{ P(A)+P(B)<1}\)

i z jakich wzorów liczyć \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\), w zależności od powyższych dwóch punktów...

[szachimat]

W Tytuł: [instrukcja] Krótki kurs LaTeX-a, w punkcie "2.6 Różne znaki", napisane jest, że zbiór pusty zapisujemy jako "emptyset".
Natomiast w Twoim przykładzie \(\displaystyle{ P(B)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ B = \emptyset}\). Wtedy: \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)}\) oraz \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\).

[a4karo]

Jeżeli \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)}\)

Stad oczywiście nie wynika, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) sa rozłaczne. Stad wynika tylko, że \(\displaystyle{ \PP(A\cap B)=0}\)

[szachimat]

Jeżeli \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)}\)

Stad oczywiście nie wynika, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) sa rozłaczne. Stad wynika tylko, że \(\displaystyle{ \PP(A\cap B)=0}\)

A jeżeli \(\displaystyle{ \PP(A\cap B)=0}\), to \(\displaystyle{ A \cap B}\) może być \(\displaystyle{ \neq \emptyset}\) ?

[a4karo]

Jasne: losujesz punkt z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\). \(\displaystyle{ A}\) - trafiłeś \(\displaystyle{ x\leq 1/2}\), \(\displaystyle{ B}\) trafiłeś \(\displaystyle{ x\geq 1/2}\).

[musialmi]

szachimat, prawdopodobieństwo jest miarą i postulat miary jest taki: jeśli zbiór jest pusty, to ma miarę zero. Ale to nie działa w drugą stronę - są zbiory, które mają miarę (prawdopodobieństwo) zero i nie są puste.