O co chodzi z gęstością?

[musialmi]

Gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) to taka funkcja \(\displaystyle{ g}\), że dla każdego \(\displaystyle{ A \in B(\RR) \colon P(X \in A)=\int_A g(x) \, dx}\)

Rozumiem, że ta całka jest względem miary \(\displaystyle{ P}\)(?). No Ale \(\displaystyle{ P(X \in A)=\int_{\left\{ X \in A \right\}} 1 \, dP=\int_{X^{-1}(A)} 1 \, dP}\),
czyli \(\displaystyle{ \int_A g(x) \, dP=\int_{X^{-1}(A)} 1 \, dP}\) p.w. Czy gęstość jest jakoś powiązana z funkcją odwrotną do zmiennej losowej? Czym w ogóle jest gęstość w praktyce i po co o niej mówić?

[Spektralny]

Gęstość sprowadza abstrakcyjną całkę względem miary probabilistycznej do zwykłej całki Lebesgue'a na prostej. W szczególności jeżeli \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą zmiennej \(\displaystyle{ X}\), która ma gęstość \(\displaystyle{ g}\), to

\(\displaystyle{ F(x) = \int\limits_{-\infty}^x g(t)\,{\rm d}t.}\)

Wygodne prawda? Zauważ, że nie każda zmienna ma gęstość (np. zmienne dyskretne nie mają gęstości).

[musialmi]

Wierzę na słowo, że wygodne Tego dopiero się dowiem. A więc to nie jest całka względem prawdopodobieństwa, tylko całka względem miary Lebesgue'a...

[a4karo]

Zmienna losowa przyjmuje wartości rzeczywiste. Zapis \(\displaystyle{ X\in A}\) po lewej stronie równania to nic innego jak przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ A}\), który jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

[leszczu450]

musialmi, poczytaj o mierze obrazowej na wiki : )