Niech \(\displaystyle{ \tau_{1},\tau_{2}}\) będą momentami stopu względem filtracji {\(\displaystyle{ H_{n} :n \in N}\)}. Zbadaj, czy zmienna losowa \(\displaystyle{ \tau=\tau_{1} \cdot \tau_{2}}\) też jest momentem stopu względem filtracji \(\displaystyle{ {H_{n}: n \in N}}\). Jeżeli tak, podaj dowód, jeżeli nie, wskaż kontrprzykład.
Proszę o pomoc w rozwiazaniu, bo nie bardzo rozumiem tych momentów stopu ;(
momenty stopu
-
blondyna1531
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 30 kwie 2015, o 14:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
-
Everard
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Pomógł: 49 razy
momenty stopu
Jesteś w czasie dyskretnym (Twoja filtracja jest typu \(\displaystyle{ H_1, H_2, ...}\), a nie \(\displaystyle{ H_r, r\ge 0}\)), zatem moment stopu przyjmuje wartości nieujemne całkowite, z definicji.
Definicja momentu stopu mówi nam, że zdarzenia \(\displaystyle{ \{\tau_1\le n\},\{\tau_2\le n\}}\) należą do \(\displaystyle{ H_n}\). Musimy zatem wykazać, że
\(\displaystyle{ \{\tau_1\cdot\tau_2\le n\}\in H_n.}\)
Ale, jako, że nasz czas jest dyskretny, mamy
\(\displaystyle{ \{\tau_1\cdot\tau_2\le n\}=\sum_{k=1}^{n}\{\tau_1\le k, \tau_2\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor\}.}\)
Każdy z tych zbiorów jest iloczynem dwóch zbiorów należących do \(\displaystyle{ H_l}\) dla \(\displaystyle{ l\ge n}\), zatem w szczególności są to zbiory należące do \(\displaystyle{ H_n}\). Skończona suma zbiorów z \(\displaystyle{ H_n}\) jest w \(\displaystyle{ H_n}\), więc mamy, że \(\displaystyle{ \tau_1\cdot \tau_2}\) w istocie jest momentem stopu...
... jeżeli nie mamy żadnych założeń co do całkowalności. Teraz dużo zalezy od konwencji Twojego wykładowcy - niektórzy zakładają już w definicji momentu stopu że jest on całkowalną zmienną losową, inni że nie jest. Jeżeli moment stopu musi być dla Ciebie całkowalny, to produkt dwóch funkcji całkowalnych całkowalny już być nie musi, więc trzeba by tu nieco bardziej uważać.
Definicja momentu stopu mówi nam, że zdarzenia \(\displaystyle{ \{\tau_1\le n\},\{\tau_2\le n\}}\) należą do \(\displaystyle{ H_n}\). Musimy zatem wykazać, że
\(\displaystyle{ \{\tau_1\cdot\tau_2\le n\}\in H_n.}\)
Ale, jako, że nasz czas jest dyskretny, mamy
\(\displaystyle{ \{\tau_1\cdot\tau_2\le n\}=\sum_{k=1}^{n}\{\tau_1\le k, \tau_2\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor\}.}\)
Każdy z tych zbiorów jest iloczynem dwóch zbiorów należących do \(\displaystyle{ H_l}\) dla \(\displaystyle{ l\ge n}\), zatem w szczególności są to zbiory należące do \(\displaystyle{ H_n}\). Skończona suma zbiorów z \(\displaystyle{ H_n}\) jest w \(\displaystyle{ H_n}\), więc mamy, że \(\displaystyle{ \tau_1\cdot \tau_2}\) w istocie jest momentem stopu...
... jeżeli nie mamy żadnych założeń co do całkowalności. Teraz dużo zalezy od konwencji Twojego wykładowcy - niektórzy zakładają już w definicji momentu stopu że jest on całkowalną zmienną losową, inni że nie jest. Jeżeli moment stopu musi być dla Ciebie całkowalny, to produkt dwóch funkcji całkowalnych całkowalny już być nie musi, więc trzeba by tu nieco bardziej uważać.
-
blondyna1531
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 30 kwie 2015, o 14:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
momenty stopu
Ale, jako, że nasz czas jest dyskretny, mamy
\(\displaystyle{ \{\tau_1\cdot\tau_2\le n\}=\sum_{k=1}^{n}\{\tau_1\le k, \tau_2\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor\}.}\)
nie rozumiem za bardzo tego momentu. Czemu ograniczyliśmy \(\displaystyle{ \tau_1\le k}\) , \(\displaystyle{ \tau_2\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor\}}\) ?
\(\displaystyle{ \{\tau_1\cdot\tau_2\le n\}=\sum_{k=1}^{n}\{\tau_1\le k, \tau_2\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor\}.}\)
nie rozumiem za bardzo tego momentu. Czemu ograniczyliśmy \(\displaystyle{ \tau_1\le k}\) , \(\displaystyle{ \tau_2\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor\}}\) ?