Stochastyczna równoważność i nierozróznialność

[leszczu450]

Cześć!

U Karatzasa, Shreve znalazłem taki oto przykład procesów\(\displaystyle{ X,Y}\), którą są stochastycznie równoważne, ale nie są nierozróżnialne. Przykład rozumiem, poza kilkoma drobnymi sprawami.

Niech \(\displaystyle{ X_t \equiv 0}\) oraz niech \(\displaystyle{ T}\) będzie ciągłą zmienną losową. Określmy \(\displaystyle{ Y_t= \begin{cases} 0 , & t \neq T \\ 1 ,& t=T \end{cases}}\). \(\displaystyle{ Y}\) jest modyfikacją \(\displaystyle{ X}\)-to jasne, bo dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_t=Y_t)= \mathbb{P}(T \neq t)=1}\), bo \(\displaystyle{ T}\) jest ciągłą zmienną losową. Z drugiej strony \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_t=Y_t , \ \forall_t)=0}\), bo po prostu istnieje jeden taki punkt, gdzie równości nie ma.

Moje pytanie. Co to jest ta zmienna \(\displaystyle{ T}\) ? To jest dowolna zmienna losowa? Tyle, że o ciagłym rozkładzie? Prawdę mówiąc, nie rozumiem w tym przykładzie do końca zapisu \(\displaystyle{ t=T}\)

[Everard]

No prawie: musi to być zmienna losowa o ciągłym rozkładzie i "na" wartościach nieujemnych (żeby dla kazdego \(\displaystyle{ t}\) istniało \(\displaystyle{ \omega}\) takie, że \(\displaystyle{ T(\omega)=t.}\)). Zmienną \(\displaystyle{ Y}\) możesz zapisać jako
\(\displaystyle{ Y_t(\omega)=\begin{cases} 1 & T(\omega)=t \\
0 & T(\omega)\neq t.\end{cases}}\)