Oblicz gęstość

[kryg196]

Witam, mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie \(\displaystyle{ U \left( \alpha -\frac{1}{2},\alpha +\frac{1}{2} \right)}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\). Oblicz gęstość \(\displaystyle{ X-Y}\).

Nie pamiętam już jak takie zadania się robiło, mógłby ktoś mi pomóc?

[leszczu450]

kryg196, na myśl przychodzi mi dystrybuanta. Rozważ \(\displaystyle{ Z=X-Y}\) i oblicz \(\displaystyle{ F_Z(t)=\mathbb{P}(Z<t)=\mathbb{P}(X-Y<t)=\mathbb{P}(X<Y+t)= \ldots}\)


\(\displaystyle{ f_X(x)=2 \cdot 1_{\left( \alpha- \frac{1}{2}, \alpha+ \frac{1}{2} \right) }(x)\\ f_Y(y)=2 \cdot 1_{\left( \alpha- \frac{1}{2}, \alpha+ \frac{1}{2} \right) }(y)}\)

Z niezależności zmiennych mamy, że:

\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)= 4 \cdot 1_{\left( \alpha- \frac{1}{2}, \alpha+ \frac{1}{2} \right) }(x)1_{\left( \alpha- \frac{1}{2}, \alpha+ \frac{1}{2} \right) }(y)}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ F_Z(t)=\mathbb{P}(Z<t)=\mathbb{P}(X-Y<t)=\mathbb{P}(X<Y+t)=\iint_{\left\{ (x,y),\ x<y+t\right\} }f_{(X,Y)}(x,y)\dd{x}\dd{y}}\)

Nie jestem pewien, czy to najprostszy sposób. Teraz trzeba zobaczyć jakie będą granice całkowania i trochę pracy Ciebie czeka jeszcze.

Kolejna metoda to splot- poczytaj o tym na forum.

Jeszcze inny sposób- istna armata- twierdzenie o zamianie zmiennych. Również rozwala takie zadanka.

[kryg196]

Dzięki wielkie za odpowiedź!