Liczby ustawione w ciąg rosnący.

[NogaWeza]

Witam, mam problem z zadaniem. Jest ono następujące:

Danych jest \(\displaystyle{ 5}\) pudełek ponumerowanych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 5}\). W każdym znajduje się \(\displaystyle{ 20}\) kul ponumerowanych liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 20}\). Z każdego pudełka wybieramy jedną kulę, a do policzenia jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że każda z wylosowanych liczb jest mniejsza od wszystkich liczb wylosowanych z pudełek o większych numerach.

Zaczynam od wyznaczenia zbioru zdarzeń elementarnych:

\(\displaystyle{ | \Omega | = 20^5}\)

Liczy się kolejność wylosowanych kul, więc będę tutaj brał pod uwagę ciąg i ma on być taki, że:
\(\displaystyle{ a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5}}\).

No i tu natrafiam na problem, bo sprzyjających zdarzeń jest o wiele za dużo, żeby je wypisać. Dostałem podpowiedź, żeby użyć tu kombinacji, ale nie rozumiem tej idei, bo liczy się tu kolejność, więc kombinacje mi tu nie pasują.
Będę wdzięczny za pomoc i objaśnienie dlaczego tak a nie inaczej.

[Michalinho]

Na pewno w każdym pudełku jest \(\displaystyle{ 20}\) kul ponumerowanych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 5}\)?

[NogaWeza]

Michalinho - oczywisty błąd przy przepisywaniu, oczywiście, że od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 20}\)

[Michalinho]

Teraz to da się policzyć
Wskazówka jest dobra. Wystarczy policzyć ile jest kombinacji \(\displaystyle{ 5}\)-elementowych ze zbioru \(\displaystyle{ 20}\)-elementowego. Każda taka kombinacja da nam jeden ciąg rosnący, a każdy ciąg rosnący da jedną kombinację, czyli ciągów rosnących jest tyle samo co kombinacji. Stąd prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{20\choose 5}}{20^5}}\)

[szachimat]

Każda wylosowana piątka różnych liczb stanowi dokładnie jeden układ liczb rosnących. Tak więc nie wnikajmy w kolejność. Czy mamy \(\displaystyle{ (5,4,3,2,1)}\), czy \(\displaystyle{ (5,3,4,2,1)}\), to potraktujmy to jako jeden \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5\}}\). Tak więc ma sens wyznaczenie ilości kombinacji.
Edit
Skoro napisałem, to również wysyłam, choć widzę, że w dużej mierze powtarzam za Michalinho, ale tam licznik ma być zapisany odwrotnie.

[Michalinho]

Jasne, pomyłka, już poprawiłem

[NogaWeza]

Dzięki, teraz rozumiem. Po wylosowaniu tych pięciu liczb mogę je ustawić w ciąg rosnący tylko na jeden sposób, logiczne. Pytanie dodatkowe: co w sytuacji gdy z warunków zadania miałbym \(\displaystyle{ a_{1} \le a_{2} \le a_{3} \le a_{4} \le a_{5}}\). Jak wtedy można to policzyć?

[Michalinho]

Wtedy korzystasz z takiego wzoru na liczbę ciągów niemalejących:
\(\displaystyle{ {20+5-1\choose 5}}\)

[NogaWeza]

Czyli ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami, zgadza się?

[Michalinho]

Tak.

[NogaWeza]

Temat wyczerpany, dziękuję za pomoc