Witam,
mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania. Proszę o pomoc.
Niech \(\displaystyle{ X=(X)_{t\ge 0}}\) będzie procesem gaussowskim o funkcji średniej \(\displaystyle{ m(t)=EX_t=cos(t)}\) i funkcji kowariancji \(\displaystyle{ K(s,t)=st \sqrt{s \wedge t}}\). Udowodnij, że proces ma modyfikację ciągłą i podaj z jakim wykładnikiem jest ona lokalnie hölderowsko ciągła.
Chcę oczywiście skorzystać z tw. Kołmogorowa o ciągłej modyfikacji. Trzy podejścia:
1. \(\displaystyle{ \mathbb{E}|X_t-X_s|\le \sqrt{\mathbb{E}|X_t-X_s|^2}=\sqrt{\mathbb{E}X_t^2-2\mathbb{E}X_t\mathbb{E}X_s+\mathbb{E}X_s^2}=\sqrt{t^{5/2}+\cos^2(t)+s^{5/2}+\sin^2(s)-2\cos(t)\cos(s)}=\sqrt{t^{5/2}+s^{5/2}+(\cos(t)-\sin(s))^2}}\) i nie wiem jak to dalej ładnie ograniczyć. Pewnie jakaś wypukłość, coś takiego?
2. \(\displaystyle{ \mathbb{E}|X_t-X_s|^2=t^{5/2}-2st\sqrt{s \wedge t}+s^{5/2}+(\cos(t)-\sin(s))^2\le ?}\)
3. To sam pomysł. Powyżej nawet chyba nie korzystałbym z informacji o rozkładach gaussowskich. Wiemy, że \(\displaystyle{ X_t, X_s}\) mają rozkłady Gaussa ze znanymi parametrami. Jaki jest rozkład \(\displaystyle{ X_t-X_s}\)? Możemy zastosować przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ A\colon (X_t,X_s)=X \rightarrow (X_t-X_s,X_s)=Y}\). Gęstość Y to \(\displaystyle{ g_Y(x,y)=g_X(A^{-1}(x,y))}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)}\), więc \(\displaystyle{ X_t-X_s\tilde g(x_t,x_s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}t^{5/4}}e^{\frac{-(x_t+x_s)^2}{2t^{5/2}}}\) i chciałbym jakoś to wykorzystać w szacowaniu wartości oczekiwanej. Analogicznie do poniższego (dla procesu Wienera)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}|W_t-W_s|^p=\mathbb{E}|\sqrt{t-s}W_1|^p=\dots}\), ale nie do końca wiem jak to poprawnie zrobić. Proszę o pomoc.
Pozdrawiam
EDIT: Ok, zrobiłem, łatwe było Jak będę pamiętał, to wklepię tu dla potomnych.