Gęstość brzegowa wektora losowego

[elbargetni]

Dajmy na to, że mam podaną gęstość łączoną wektora losowego, która jest określona na:
\(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [x, 1]}\)
Ten sam można oznaczyć jako:
\(\displaystyle{ x \in [y,1]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [0, 1]}\)

Wiem, że wzór na gęstość brzegową zmiennej losowej X, to:
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \int_{y}^{} f(x,y) dy}\)

Pytanie mam takie:
Po jakim obszarze y-ów mam to całkować, wszystko przecież zależy jak określę sobie przedział gęstości łącznej podany w zadaniu, nie wiem czy dobrze rozumiem definicję rozkładów brzegowych, bo w takim przypadku, to mam dwie możliwości otrzymania tych gęstości.

[leszczu450]

\(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [x, 1]}\)
Ten sam można oznaczyć jako:
\(\displaystyle{ x \in [y,1]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [0, 1]}\)

Obojętnie. Weź te przedziały, dzięki którym będzie łatwiej. W tym przypadku pierwszy

[elbargetni]

No ale jak obojętnie, nie uzyskam wówczas tych samych wyników, biorąc pierwszy, to
\(\displaystyle{ f_X(x)}\) bedzie funkcja zmiennej x, zaś \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) bedzie stale,
a jakbym wzial druga opcje, to byloby odwrotnie, przeciez chyba tak nie moze byc, te gestosci brzegowe powinny byc jednoznacznie wyznaczone.

[leszczu450]

elbargetni, tak się nie dogadamy. Na indykatorach można manewrować i to nic nie zmieni. Daj mi konkretny przykład i przekonasz się, po co stosuje się różne przedstawienia tych przedziałów.

[elbargetni]

Niech gęstość łączną wektora losowego to \(\displaystyle{ f(x,y)=2}\) określoną na trójkącie o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,0), (1,0), (0,1)}\).
Oblicz gęstości brzegowe.

[leszczu450]

elbargetni, no i w czym problem? Narysuj sobie ten trójkąt. Wówczas otrzymasz dwie równoważne reprezentacje przedziałów całkowania. Raz potraktuj to jako obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ OX}\),a drugi raz jako normalny względem \(\displaystyle{ OY}\). Potrafisz sam wówczas napisać te przedziały?

[rafalpw]

\(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [x, 1]}\)
Ten sam można oznaczyć jako:
\(\displaystyle{ x \in [y,1]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [0, 1]}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ y \in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ x \in [0,y]}\).

[elbargetni]

Faktycznie masz rację.
Wracając do zadania przeze mnie podanego mogę uzyskać dwa warianty odpowiedzi:
1. \(\displaystyle{ f_{X}(x) = 2(1-x)}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = 2}\)

2. \(\displaystyle{ f_{X}(x) = 2}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = 2(1-y)}\)

Czyli rozumiem, że obie odpowiedzi są poprawne?