Rozkład łączny max(X,Y) i min(X,Y)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
elbargetni
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 189
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Rozkład łączny max(X,Y) i min(X,Y)

Post autor: elbargetni »

Chcę wyznaczyć rozkład łączny zmiennej losowej max(X,Y) oraz min(X,Y), gdzie X i Y są zmiennymi niezależnymi.
Czy moje poniższe rozwiązanie jest poprawne?
Zaczynam od dystrybuanty:
\(\displaystyle{ F_{max(X,Y) ,min(X,Y)} (z,w) = P( max(X,Y) \leq z, min(X,Y) \leq w )}\)
Rozpatruję dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1. z>w:}\)

\(\displaystyle{ P( max(X,Y) \leq z, min(X,Y) \leq w ) = P( max(X,Y) \leq w, min(X,Y) \leq w ) =
P( X \leq w, Y \leq w ) = F_{X,Y} (w,w)}\)


\(\displaystyle{ 2. z<w:}\)

\(\displaystyle{ P( max(X,Y) \leq z, min(X,Y) \leq w ) = P (( X \leq z, Y \leq w ) \cup ( X \leq w, Y \leq z ))=
P ( X \leq z, Y \leq w ) + P ( X \leq w, Y \leq z ) - P( X \leq z, Y \leq z ) =
F_{X,Y} (z,w) + F_{X,Y} (w,z) - F_{X,Y} (z,z)}\)
ODPOWIEDZ