Gęstość zmiennych losowych

[przemo9191]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest typu ciągłego i ma gęstość wszędzie dodatnią \(\displaystyle{ f_{X}}\). Wyznacz gęstości następujących zmiennych losowych:
a) \(\displaystyle{ Y=aX+b}\)
b) \(\displaystyle{ Z=aX^2}\)

Moje rozwiązanie:
a) \(\displaystyle{ y=ax+b\implies x=\frac{y-b}{a}=h \left( y \right) ,h' \left( y \right) =\frac{1}{a}}\)
Korzystam ze wzoru na gęstość nowej zmiennej:
\(\displaystyle{ f_{Y} left( y
ight) =f_{X} left( h left( y
ight)
ight) cdot |h' left( y
ight) |cdot 1_{ left[ 0,infty
ight) } left( y
ight)}\)
i otrzymuje:
\(\displaystyle{ f_{Y} left( y
ight) =f_{X} left( frac{y-b}{a}
ight) cdot left|frac{1}{a}
ight|cdot 1_{ left[ 0,infty
ight) } left( y
ight)}\)
b) analogicznie do a)

Chciałbym zapytać czy robię to zadanie poprawnie?

[PiotrowskiW]

Sposób dobry, wykonanie gorsze.
Zapomniałeś sprawdzić monotoniczność funkcji afinicznej w podpunkcie a), czyli tego co oznaczyłeś przez \(\displaystyle{ y}\).
Poza tym trzeba jeszcze sprawdzić, czy \(\displaystyle{ y}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\) oraz sprawdzić czy w podanym przedziale całkowania pochodna się nie zeruje.
Bo tak na prawdę to jest twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.
Zweryfikuj to co napisałem, bo mam słabą pamięć.

[leszczu450]

przemo9191, armatę wyciągasz, a nie trzeba. Zauważ:

\(\displaystyle{ Y=aX+b}\)

Dla \(\displaystyle{ a>0}\) mamy:

\(\displaystyle{ F_Y \left( x \right) =\mathbb{P} \left( aX +b<x \right) = \mathbb{P} \left( aX<x-b \right) = \mathbb{P} \left( X< \frac{x-b}{a} \right) = F_X \left( \frac{x-b}{a} \right)}\)

\(\displaystyle{ f_Y \left( x \right) = \left( F_Y \left( x \right) \right) '= \left( F_X \left( \frac{x-b}{a} \right) \right) '= f_X \left( \frac{x-b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}}\)

Rozważ teraz analogicznie przypadek dla \(\displaystyle{ a<0}\)

[przemo9191]

leszczu450 rzeczywiście metoda, którą przedstawiłeś jest łatwiejsza. Pytanie kiedy stosować wzór?

[leszczu450]

przemo9191, w przypadku, gdy działanie na dystrybuancie jest uciążliwe.