Nierówność z wartością oczekiwaną

musialmi · Post autor: **musialmi** » 18 kwie 2015, o 21:17

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie nieujemną zmienną losową. Pokaż, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X) \leq 1+\sum_{n=1}^\infty P(X \geq n)}\).

Próbowałem na tyle sposobów... Zapewne nie umiem wykorzystać tej jedynki jakoś sprytnie.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 18 kwie 2015, o 22:03

A jeśli powiem Ci, że \(\displaystyle{ \mathbb E[X] = \int_0^\infty P(X > t)\,\textrm{d}t}\) dla nieujemnych \(\displaystyle{ X}\)?

musialmi · Post autor: **musialmi** » 18 kwie 2015, o 22:22

Z takiej postaci też próbowałem korzystać, wciąż bez zmian

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 19 kwie 2015, o 06:15

Kolejna wskazówka: \(\displaystyle{ P(X > t)}\) to \(\displaystyle{ 1- F(t)}\) (związek z dystrybuantą), narysuj obie funkcje i przypomnij sobie działanie kryterium całkowego.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 19 kwie 2015, o 08:26

Aaaa, widzisz, ja nigdy nie miałem styczności z dystrybuantą. Zobaczyłem sobie definicję i widzę skąd wynika ta równość, ale nie wiem jak mam rozumieć "prawdopodobieństwo odcinka". Przecież sigma-ciało zdarzeń nie musi zawierać odcinków.
No chyba, że to jest jedno z tych skrótowych zapisów teoriomiarowo-prawdopodobieństwowych i \(\displaystyle{ P((0,t\rangle)}\) oznacza \(\displaystyle{ P(\left\{ \omega \colon X(\omega) \in (0,t\rangle \right\} )}\)?

PS O piątej w niedzielę, serio? :O