Witam. Mam takie zadanie. Mamy urny zawierające m białych i n czarnych kul (\(\displaystyle{ m>n}\)). Losujemy kolejno kule. jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnej chwili liczba wylosowanych kul będzie taka sama?
Myślę tak:
Przestrzenią zdarzeń elementarnych jest \(\displaystyle{ m+n}\) wyrazowy ciąg kul. Taki ciąg możemy przedstawić na diagramie. Wyobraźmy sobie układ współrzędnych prostokątnych. Startujemy w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i teraz gdy w \(\displaystyle{ k}\)-tym kroku wylosowaliśmy kulę białą to idziemy o jednostkę górę, a gdy kulę czarną to o jednostkę w prawo (\(\displaystyle{ 0 \le k \le m+n}\)). Widzimy zatem, że liczność Omegi będzie równa liczbie najkrótszych dróg z początku układu do punktu \(\displaystyle{ (n,m)}\), czyli \(\displaystyle{ \left| \Omega \right| = {n+m \choose n}}\). Teraz zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) będzie sprzyjające gdy nasza droga będzie przechodziła przez w choć jednym punkcie przez prostą \(\displaystyle{ y=x}\), i zaczyna się mój problem nie potrafię policzyć mocy zbioru \(\displaystyle{ A}\), ani nawet \(\displaystyle{ A'}\). Bardzo proszę o pomoc w dokończeniu rozumowania, albo propozycję innego sposobu rozwiązania.