Cześć, mam problem z pewnym zadaniem, o tyle o ile w innych przykładach nie miałem z tym problemu tak teraz kompletnie nie wiem jak zapisać to formalnie. a chodzi mianowicie o:
Sprawdzić czy dany ciąg zmiennych losowych:
\(\displaystyle{ X_{n}=N(\frac{1}{n};1-\frac{1}{n})}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ X=N(0;1)}\), gdzie \(\displaystyle{ N(m;\sigma)}\) to rozkład normalny o parametrach \(\displaystyle{ m,\sigma}\)
a) prawie na pewno
b) średniokwadratowo
O tyle o ile zb. p.n. wydaje mi się trywialna, o tyle nie mam pewności co do średniokwadratowej.
Definicje to:
\(\displaystyle{ X_{n}\xrightarrow{p.n.}X}\) gdy: \(\displaystyle{ P({\omega\in\Omega:X_{n}(\omega)\rightarrow X(\omega); n\rightarrow\infty})=1}\)
oraz:
\(\displaystyle{ X_{n}\xrightarrow{L^2}X}\) gdy: \(\displaystyle{ E|X_{n}-X|^2\rightarrow 0 ; n\rightarrow\infty}\)
Będę bardzo wdzięczny za wskazówki/pomoc w rozwiązaniu.
Pozdrawiam
-- 17 kwi 2015, o 16:31 --
Dodam, że myślałem aby skorzystać z włascości: \(\displaystyle{ X=N(m_{1};\sigma_{1}),Y=N(m_{2};\sigma_{2})}\) to rozkłady normalne, wówczas \(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(m_{1}+m_{2};\sqrt{(\sigma_{1})^2+(\sigma_{2})^2})}\)
ale nie wiem jak to jest w przypadku \(\displaystyle{ X-Y}\)