lemat borela-canteli

princess691 · Post autor: **princess691** » 15 kwie 2015, o 19:27

Rzucamy nieskończenie wiele razy sym. monetą. \(\displaystyle{ X_n}\) - liczba orłów w pierwszych \(\displaystyle{ n}\) rzutach. Oblicz prawdopodobieństwo, że dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ 4X_n=n}\)

musialmi · Post autor: **musialmi** » 15 kwie 2015, o 19:32

Umiesz opisać zdarzenie \(\displaystyle{ A_n}\) i uzupełnić kropki: szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ P(\ldots)}\)?

princess691 · Post autor: **princess691** » 15 kwie 2015, o 20:17

\(\displaystyle{ A_n}\) zdarzenie, takie że w pierwszych \(\displaystyle{ n}\) rzutach było \(\displaystyle{ n/4}\) orłów ?
\(\displaystyle{ P(A_n)= {n \choose \frac{n}{4} } p^{ \frac{n}{4} }\left( 1-p\right)^{\left( 1-n/4\right) }}\)

musialmi · Post autor: **musialmi** » 15 kwie 2015, o 20:31

Na końcu w wykładniku powinno być \(\displaystyle{ n-\frac n4}\).
Mogę się chyba z tym zgodzić. Ale to nie jest szukane prawdopodobieństwo. To jest takie, że dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ n/4}\) orłów. A nas interesuje prawdopodobieństwo, że takich \(\displaystyle{ n}\) będzie nieskończenie wiele, czyli \(\displaystyle{ A_n}\) będzie nieskończenie wiele.

princess691 · Post autor: **princess691** » 15 kwie 2015, o 20:40

Czyli sumujemy te prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ A_n}\) dla \(\displaystyle{ p=1/2}\) będzie szereg rozbieżne. Brakuje jeszcze niezależności tak?

musialmi · Post autor: **musialmi** » 15 kwie 2015, o 20:59

\(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne, więc suma prawdopodobieństw to prawdopodobieństwo sumy. Ale co to jest suma? Suma to zdarzenie takie, że: zajdzie \(\displaystyle{ A_1}\) lub \(\displaystyle{ A_2}\) lub... No a nas chyba nie interesuje zajście jednego ze zdarzeń, tylko nieskończonej ilości takich zdarzeń, tak? Więc suma prawdopodobieństw to za mało.
A niezależności do czego brakuje?

princess691 · Post autor: **princess691** » 15 kwie 2015, o 21:07

To ja już nie rozumiem jak to zrobic

musialmi · Post autor: **musialmi** » 15 kwie 2015, o 22:23

Rzuć może okiem na to, co niedawno napisałem komuś - powiązane z twoim tematem: 386487.htm

princess691 · Post autor: **princess691** » 16 kwie 2015, o 05:56

Hmm nadal nie wiem jak to ugryźć

musialmi · Post autor: **musialmi** » 16 kwie 2015, o 08:16

A wiesz jak się nazywa zbiór nieskończenie wielu zdarzeń \(\displaystyle{ A_n}\)?

princess691 · Post autor: **princess691** » 16 kwie 2015, o 08:24

nie wiem do czego dążysz

musialmi · Post autor: **musialmi** » 16 kwie 2015, o 08:28

Zapewne do rozwiązania Umiesz nazwać ten zbiór terminem matematycznym?

princess691 · Post autor: **princess691** » 16 kwie 2015, o 08:40

no nie ;/

jutrvy · Post autor: **jutrvy** » 16 kwie 2015, o 09:04

W temacie masz napisane: lemat B-C. To ja rzucę hintem:

\(\displaystyle{ \omega\in\limsup_nA_n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \omega\in A_n}\).

princess691 · Post autor: **princess691** » 16 kwie 2015, o 09:10

już kompletnie sie pogubilam co ma sie do czego