Mam takie zadanko
Wyjaśnij na czym polega błąd w poniższym rozumowaniu.
I drugie bardzo podobne zadanieOdcinek \(\displaystyle{ I = [0, 1]}\) składa się z punktów: \(\displaystyle{ I = U _{x \in I}\left\{ x\right\}}\).
Długość każdego punktu wynosi zero: \(\displaystyle{ e({x}) = 0}\).
Korzystamy z addytywności miary:
\(\displaystyle{ e(I) = e(U _{x \in I} \left\{ x\right\} )= \sum_{x}^{} e(\left\{ x\right\} ) = 0 + 0 + ... + 0 = 0}\)
W ten sposób pokazaliśmy, że odcinek \(\displaystyle{ I}\) ma długość zero.
I trzecie zadanie na takiej samej zasadzie.wybieramy losowy punkt z odcinka\(\displaystyle{ \Omega = [0,1]}\)
prawdopodobieństwo wylosowania ustalonego \(\displaystyle{ x}\) wynosi zero:
\(\displaystyle{ P(\left\{ x\right\} ) = 0}\)
odcinek składa się z punktów:
\(\displaystyle{ [0,1] = \bigcup_{x \in [0,1]}\left\{ x\right\}}\)
Stąd wynika, że prawdopodobieństwo całego odcinka też wynosi zero:
\(\displaystyle{ P([0,1]) = P( \bigcup_{x} \left\{x \right\} ) = \sum_{x} P(\left\{ x\right\} ) = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0}\)
Podpowiedź:Zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ Q}\) składa się z punktów: \(\displaystyle{ Q = \bigcup_{x \in Q}\left\{ x\right\}}\)
Długość każdego punktu wynosi zero: \(\displaystyle{ e(\left\{ x\right\} ) = 0}\). Korzystamy z addytywności miary:
\(\displaystyle{ e(Q)=e( \bigcup_{x \in Q}\left\{ x\right\} )= \sum_{x}e(\left\{ x\right\} ) = 0 + 0 + 0 + ... = 0}\)
W ten sposób pokazaliśmy, że zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ Q}\) ma długość zero
Skorzystaj z wyjaśnienia paradoksu Zenona.
Wydaję mi się oczywiste, że skoro punkt nie ma długości to nie można w taki sposób korzystać z addytywności miary, lecz nie mam pojęcia jak to ująć matematycznie.
Z góry dzięki za wszelką pomoc.
