Niezależność zdarzeń

[kryg196]

Witam, mam prawdopodobieństwo po ang i mam takie oto zadanie :

Let the random variable \(\displaystyle{ X}\) be defined by \(\displaystyle{ X=U\cdot W}\), where \(\displaystyle{ U}\) and \(\displaystyle{ W}\) are independent random variables each taking on the values \(\displaystyle{ -1}\) and \(\displaystyle{ 1}\) with probabilities \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Verify that \(\displaystyle{ X}\) is independent of both \(\displaystyle{ U}\) and \(\displaystyle{ W}\), but not of \(\displaystyle{ U+W}\).

To wymyśliłem:

1)

\(\displaystyle{ X=U\cdot W}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(U=-1) \cdot \mathbb{P}(W=-1) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(U=-1) \cdot \mathbb{P}(W=1) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(U=1) \cdot \mathbb{P}(W=-1) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(U=1) \cdot \mathbb{P}(W=1) = \frac{1}{4}}\)

czyli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=1) = \frac{1}{2}}\)
zatem \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \lbrace -1,1 \rbrace}\)

niezależne gdy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=-1 \wedge U=-1)=\mathbb{P}(X=-1) \cdot \mathbb{P}(U=-1)}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) więc są niezależne.

Analogicznie:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=-1 \wedge U=1)=\mathbb{P}(X=-1) \cdot \mathbb{P}(U=1)}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=1 \wedge U=-1)=\mathbb{P}(X=1) \cdot \mathbb{P}(U=-1)}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=1 \wedge U=1)=\mathbb{P}(X=1) \cdot \mathbb{P}(U=1)}\)

w każdym przypadku mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\) więc są niezależne.

Analogicznie robię z \(\displaystyle{ W}\) więc wychodzi, że \(\displaystyle{ X}\)niezależne od \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\).

2)

Niech \(\displaystyle{ Y=U+W}\)
\(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \lbrace -2,0,2 \rbrace}\)
czyli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-2)=\mathbb{P}(Y=-2)=\frac{1}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=0)=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-2)=\mathbb{P}(U=-1) \cdot \mathbb{P}(W=-1) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(U=-1) \cdot \mathbb{P}(W=1) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(U=1) \cdot \mathbb{P}(W=-1) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=2)=\mathbb{P}(U=1) \cdot \mathbb{P}(W=1) = \frac{1}{4}}\)

jak to jest tutaj z tą zależnością \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ???
nie wiem jak tutaj wskazać np. \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-2 \wedge X=-1)}\) ?

[lukasz1804]

Dobry wybór. Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-2 \wedge X=-1)=0}\), podczas gdy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-2)\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=-1)\ne 0}\).

[kryg196]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-2 \wedge X=-1)=0}\) tylko czego \(\displaystyle{ 0}\)?

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-2)=\mathbb{P}(U=-1) \cdot \mathbb{P}(W=-1)}\)
ale \(\displaystyle{ \mathbb{P}(U=-1) \cdot \mathbb{P}(W=-1)=\mathbb{P}(X=1)}\) a nie \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=-1)}\) nie mamy takiego przypadku więc mamy \(\displaystyle{ 0}\)??

[lukasz1804]

Chodzi o to, że zdarzenia \(\displaystyle{ Y=-2, X=-1}\) się wykluczają, stąd prawdopodobieństwo ich iloczynu wynosi zero.

[kryg196]

Dzięki wielkie za pomoc