Wartość oczekiwana w pewnej grze

mlemanon · Post autor: **mlemanon** » 10 kwie 2015, o 18:07

Witam,
Mam problem z następującym zadaniem.
Bierzemy udział w następującej grze. Wybieramy losowo numer z pośród liczb $\displaystyle{ 1,\dots,25}$. Za każdy wybór płacę $\displaystyle{ 1\$}$. Jeżeli zdecydujemy się na przerwanie gry, wówczas otrzymujemy kwotę równą ostatniej wybranej liczbie. Przypuśćmy, że gre przerywamy w momencie wylosowania liczby większej lub równej jakiemuś R. Jakie R maksymalizuje wartość oczekiwaną wypłaty?

Prawdopodobieństwo, że wylosuje liczbę większą lub równą R wynosi $\displaystyle{ p=\frac{25-R+1}{25}}$.
Zatem oczekiwana liczba prób będzie równa $\displaystyle{ \frac{1}{p}}$.
Wartość oczekiwana wypłaty wynosi: $\displaystyle{ \frac{1}{25-R+1} \sum_{k=R}^{25}k - \frac{25}{25-R+1}}$.
Moje wątpliwości dotyczą pierwszego ułamka tj.$\displaystyle{ \frac{1}{25-R+1}}$ . Zastanawiam się czy nie powinno tam być $\displaystyle{ \frac{1}{25}}$.
Bardzo proszę o odpowiedź.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 10 kwie 2015, o 19:53

Jest całkowicie okej, jeśli weźmiesz $\displaystyle{ R = 1}$, to kończysz po pierwszej rundzie.

Upewnię się: losujem jedną z 25 liczb (za każdym razem od nowa), co kolejkę płacimy jednego dolara i po każdej wygranej dostajemy tyle zielonych, ile wylosowaliśmy (jeśli zgadliśmy)?

mlemanon · Post autor: **mlemanon** » 10 kwie 2015, o 21:22

Upewnię się: losujem jedną z 25 liczb (za każdym razem od nowa), co kolejkę płacimy jednego dolara i po każdej wygranej dostajemy tyle zielonych, ile wylosowaliśmy

Tak o to chodzi. "Wygraną" dostajemy jeśli zdecydujemy się przerwać grę czyli zgodnie z naszą strategią wtedy kiedy wylosujemy liczbę większą lub równą $\displaystyle{ R}$

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 11 kwie 2015, o 09:59

Okej. Więc wybierzmy sobie jakieś $\displaystyle{ R}$. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skończymy po $\displaystyle{ k}$ turach?

$\displaystyle{ p_{k} = \left( \frac{R-1}{25}\right)^{k-1} \cdot \frac{25-(R-1)}{25}.}$

Interesuje nas średni koszt gry, suma tego razy czas trwania: dla $\displaystyle{ 1 \le k < \infty}$.

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty k p_{k} = \frac{25}{26-R}}$

Pytanie: ile średnio wygrywamy?

$\displaystyle{ \sum_{k=R}^{25} \frac{k}{25-(R-1)} = \frac{25+R}{2}}$

Wniosek: wygrana minus koszt gry osiąga maksymalną wartość dla $\displaystyle{ R = 19}$ i wynosi

$\displaystyle{ \frac{129}{7}.}$