Interpretacja granicy górnej

[Matiks21]

Witam

Proszę o wytłumaczenie czemu \(\displaystyle{ \limsup A _{n}}\) interpretuje się ze zachodzi nieskonczenie wiele spośród zdarzen \(\displaystyle{ A_{n}}\) gdy mamy ciąg zdarzen \(\displaystyle{ A _{n}}\) . Chodzi mi o to skąd wiemy ze zachodzą te zdarzenia a nie części tych zdarzen, O samą interpretacje?

[musialmi]

Dobre pytanie. Definicja granicy górnej jest taka: \(\displaystyle{ \overline{\lim} A_n=\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \geq n} A_k}\). A teraz pytanie: jakie są definicje uogólnionej sumy i iloczynu? A takie:
\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{k \geq n} A_k \iff \exists k \geq n \colon x \in A_k \\
x \in\bigcap_{n=1}^\infty B_n \iff \forall n \in \NN \colon x \in B_n}\)
Połączmy te dwie definicje:
\(\displaystyle{ x \in \overline{\lim} A_n \iff x \in \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \geq n} A_k \iff \forall n \colon x \in \bigcup_{k \geq n} A_k \iff \\
\iff \forall n \ \exists k \geq n \colon x \in A_k}\)

A co wynika z "\(\displaystyle{ \forall n \ \exists k \geq n \colon x \in A_k}\)"? Wynika z tego, że istnieje nieskończenie wiele zbiorów \(\displaystyle{ A_k}\) takich, że \(\displaystyle{ x \in A_k}\). Jeśli tego nie widzisz, to pomyśl o liczbach:
jeśli prawdą jest, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ k}\) taka, że \(\displaystyle{ k \geq n}\), to tych liczb \(\displaystyle{ k}\) jest nieskończenie wiele (bo naturalnych jest nieskończenie wiele). A skoro liczb \(\displaystyle{ k}\) jest nieskończenie wiele, to jest nieskończenie wiele prawd dla zdań postaci \(\displaystyle{ x \in A_k}\). Czyli \(\displaystyle{ x}\) należy do nieskończenie wielu zbiorów \(\displaystyle{ A_k}\), o ile ciąg jest nieskończony.