Woreczki z kulami białymi i czarnymi

micsko123 · Post autor: **micsko123** » 3 kwie 2015, o 19:57

Hej, mam tutaj zadanie, ale nie wiem na ile dobrze je rozwiązałem.

W pojemniku są cztery identyczne woreczki. W jednym woreczku są 3 kule czarne i jedna biała, w każdym z pozostałych trzech woreczków są po dwie kule białe i po dwie czarne. Wylosowano woreczek, a następnie nie zaglądając do niego wyciągnięto z niego dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowano woreczek, w którym początkowo były 3 kule czarne, jeżeli wyciągnięte kule są różnych kolorów.

Barbara777 · Post autor: **Barbara777** » 3 kwie 2015, o 20:14

Klasyczny przyklad na Tw. Bayesa.

\(\displaystyle{ P(H_i/A)=\frac{P(A/H_i)P(H_i)}{\sum_{i=1}^4P(A/H_i)P(H_i)}}\)

\(\displaystyle{ A}\) - wylosowane kule sa roznych kolorow
\(\displaystyle{ H_1}\)- wylosowano worek z 3 czarnymi kulami
\(\displaystyle{ H_j}\) - wylosowano worek z dwiema czarnymi i dwiema bialymi kulami, \(\displaystyle{ j=2,3,4}\)

\(\displaystyle{ P(H_j)=\frac{1}{4}, ~~j=1,2,3,4}\)
\(\displaystyle{ P(A/H_1)=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A/H_j)=\frac{2}{3}~~, j=2,3,4.}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 3 kwie 2015, o 21:07

Żeby Cię nie odstraszały symbole, oblicz najpierw (z pr. całkowitego) prawdopodobieństwo, że wyciągnięte kule są różnych kolorów - będzie to mianownik wzoru, który podała Barbara777.

micsko123 · Post autor: **micsko123** » 3 kwie 2015, o 21:27

szachimat pisze:Żeby Cię nie odstraszały symbole, oblicz najpierw (z pr. całkowitego) prawdopodobieństwo, że wyciągnięte kule są różnych kolorów - będzie to mianownik wzoru, który podała Barbara777.

wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

bo \(\displaystyle{ {1\choose 1}}\) * \(\displaystyle{ {3\choose 1}}\), a Omega to \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 3 kwie 2015, o 21:53

micsko123 pisze:
wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

bo \(\displaystyle{ {1\choose 1}}\) * \(\displaystyle{ {3\choose 1}}\), a Omega to \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\)

Niestety nie tak szybko to wychodzi.
Jeszcze raz: wylicz to z prawdopodobieństwa całkowitego. Narysuj sobie cztery woreczki i rozważ cztery przypadki \(\displaystyle{ A_{1},A _{2},A_{3},A _{4}}\)
Prawdopodobiestwo każdego z nich wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), natomiast po kolei wyznacz \(\displaystyle{ P(B/A _{1})}\) itd.