Twierdzenie o gęstości

[PiotrowskiW]

Mam wątpliwość dotyczącą takiego twierdzenia:
Twierdzenie:
Jeśli \(\displaystyle{ g(X)}\) jest ciągłą, różniczkowalną i ściśle rosnącą funkcją, tzn. istnieje do niej odwrotna różniczkowalna funkcja \(\displaystyle{ h=g^{-1}}\) a \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową ciągłą, o gęstości \(\displaystyle{ f_X}\),
to gęstość zmiennej Y= g(X) wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ f_y (y)=f_X (h(y))h^{'}(y)}\)

Pomijam fakt, że nie zakładamy tu nic o \(\displaystyle{ g(x) \neq 0}\) bo i sformułowanie jest nieprecyzyjne.
Chodzi o to, że zazwyczaj zakładało się, że \(\displaystyle{ g \in C^{1}}\)
Widziałem też dowód tego i nie znalazłem w nim nieuprawnionego przejścia.
Czy chodzi o to, że \(\displaystyle{ h^{'}}\) może nie być ciągła?

[Kartezjusz]

Tak. Zakładamy wszystko dla różniczkowalności.

[PiotrowskiW]

Zaraz zaraz. Pogubiłem się troszkę. Można by to wyjaśnić (obszernie)?
Gdzie tu jest niepoprawne przejście i dlaczego?
Tamten dowód wygląda tak:
\(\displaystyle{ F_Y (y)=P(Y<y)=P(g(X)<y)=P(X<h(y))=F_X(h(y))}\)
\(\displaystyle{ f_Y (y)= \frac{d}{dy}F_X (h(y))= \frac{d}{dh}F_X (h(y)) \cdot \frac{d}{dy}h(y)=f_X (h(y)) \cdot h^{'}(y)}\)
Założenia twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie?