Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p}\). Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie momentem, w którym osiągniemy 2. sukces. Jakie wartości może przyjąć zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\)? Znajdź rozkład tej zmiennej.
Zadanie jest pewnie bardzo łatwe, a ja mam problem z wieloma rzeczami w nim.
1. Co to są próby Bernoulliego? Czy chodzi o doświadczenia, w którym mamy możliwe tylko 2 wyniki i próby są od siebie niezależne?
2. Zmienna losowa to z definicji funkcja z przestrzeni zdarzeń w liczby rzeczywiste. Co tutaj robi z tymi zdarzeniami zmienna \(\displaystyle{ Y}\)? Czy jest tak, że omega jest zbiorem ciągów i \(\displaystyle{ Y}\) bierze taki ciąg i szuka numerka drugiego sukcesu?
3. Jest pytanie Jakie wartości może przyjąć zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\)?. O co w tym pytaniu chodzi? Według mnie odpowiedź to "naturalne lub nieskończoność".
Rozkładem zajmijmy się później, jak już coś stąd zrozumiem...
Wprowadzenie do zmiennych losowych
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wprowadzenie do zmiennych losowych
Sam odpowiedziałeś na postawione przez siebie pytania. Z tą tylko drobną uwagą, że \(\displaystyle{ Y}\) nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 1}\) (bo w pierwszym rzucie nie może się zdarzyć drugi sukces).
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Wprowadzenie do zmiennych losowych
Dziękuję. To spróbujmy znaleźć rozkład. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie sukcesem, a \(\displaystyle{ F}\) porażką. Jeśli nasz ciąg to \(\displaystyle{ FFFFFFFF\ldots}\) lub \(\displaystyle{ FFF\ldots FSFFFFF\ldots}\), to \(\displaystyle{ Y = \infty}\).
Jeśli nasz ciąg to
\(\displaystyle{ FF\ldots FSFF\ldotsF\mathop{S}_{\uparrow k}}\),
to \(\displaystyle{ Y=k}\).
Innych możliwości nie ma.
Rozkład \(\displaystyle{ \mu}\) to prawdopodobieństwo przeciwobrazu. To może najpierw rozpatrzmy przeciwobrazy singletonów liczb naturalnych. Jeśli \(\displaystyle{ A=\left\{ \infty\right\}}\), to \(\displaystyle{ \mu(A)=(1-p)^\infty=0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ A=\{k\}}\), to \(\displaystyle{ \mu(A)=(1-p)^{k-2}p^2}\).
No to próba uogólnienia... Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie jakimś zbiorem liczb. Jeśli w \(\displaystyle{ A}\) nie ma liczb naturalnych lub jedynka jest jedyną, to przeciwobraz jest pusty, więc miara jest zero. Jeśli w \(\displaystyle{ A}\) są liczby naturalne, to weźmy je i oznaczmy przez \(\displaystyle{ k_1, k_2, \ldots, k_n}\). Przeciwobrazem takiego zbioru jest zbiór wszystkich ciągów, w których sukces pojawia się drugi raz na \(\displaystyle{ k_1}\) lub \(\displaystyle{ k_2}\) lub ... lub na \(\displaystyle{ k_n}\)-tym miejscu. Można ten zbiór podzielić na rozłączną sumę taką, że w \(\displaystyle{ n}\)-tym zbiorze mamy ciągi, w których sukces pojawia się drugi raz na \(\displaystyle{ k_n}\)-tym miejscu. Prawdopodobieństwo każdego z tych zbiorów znamy: dla \(\displaystyle{ k_n}\)-tego zbioru jest to \(\displaystyle{ (1-p)^{k_n-2}p^2}\). Suma jest rozłączna, więc prawdopodobieństwo sumy to suma prawdopodobieństw, więc \(\displaystyle{ \mu(A)=\sum_{k_1}^{k_n} (1-p)^{k_n-2}p^2}\).
Przepraszam, że tak skomplikowanie to napisałem, ale chyba nie da się łopatologicznie i krótko. Przynajmniej dobrze to zrobiłem?
Jeśli nasz ciąg to
\(\displaystyle{ FF\ldots FSFF\ldotsF\mathop{S}_{\uparrow k}}\),
to \(\displaystyle{ Y=k}\).
Innych możliwości nie ma.
Rozkład \(\displaystyle{ \mu}\) to prawdopodobieństwo przeciwobrazu. To może najpierw rozpatrzmy przeciwobrazy singletonów liczb naturalnych. Jeśli \(\displaystyle{ A=\left\{ \infty\right\}}\), to \(\displaystyle{ \mu(A)=(1-p)^\infty=0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ A=\{k\}}\), to \(\displaystyle{ \mu(A)=(1-p)^{k-2}p^2}\).
No to próba uogólnienia... Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie jakimś zbiorem liczb. Jeśli w \(\displaystyle{ A}\) nie ma liczb naturalnych lub jedynka jest jedyną, to przeciwobraz jest pusty, więc miara jest zero. Jeśli w \(\displaystyle{ A}\) są liczby naturalne, to weźmy je i oznaczmy przez \(\displaystyle{ k_1, k_2, \ldots, k_n}\). Przeciwobrazem takiego zbioru jest zbiór wszystkich ciągów, w których sukces pojawia się drugi raz na \(\displaystyle{ k_1}\) lub \(\displaystyle{ k_2}\) lub ... lub na \(\displaystyle{ k_n}\)-tym miejscu. Można ten zbiór podzielić na rozłączną sumę taką, że w \(\displaystyle{ n}\)-tym zbiorze mamy ciągi, w których sukces pojawia się drugi raz na \(\displaystyle{ k_n}\)-tym miejscu. Prawdopodobieństwo każdego z tych zbiorów znamy: dla \(\displaystyle{ k_n}\)-tego zbioru jest to \(\displaystyle{ (1-p)^{k_n-2}p^2}\). Suma jest rozłączna, więc prawdopodobieństwo sumy to suma prawdopodobieństw, więc \(\displaystyle{ \mu(A)=\sum_{k_1}^{k_n} (1-p)^{k_n-2}p^2}\).
Przepraszam, że tak skomplikowanie to napisałem, ale chyba nie da się łopatologicznie i krótko. Przynajmniej dobrze to zrobiłem?