Borel i Cantelli grają w tenisa do momentu, aż jeden z nich wygra trzy sety pod rząd. Zakładamy, że wyniki setów są niezależne i prawdopodobieństwo zwycięstwa seta przez Borela wynosi \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\). Pokaż, że z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) gracze rozegrają tylko skończoną liczbę setów.
Proponuję następujące rozwiązanie i proszę o jego sprawdzenie. Jest długawe, ale wygląda dobrze. Mam nadzieję, że ktoś się podejmie
Niech \(\displaystyle{ A_n}\) oznacza zdarzenie "do \(\displaystyle{ n}\)-tego seta włącznie rozegrano co najmniej 3 sety i każdy gracz wygrał maksymalnie 2 sety pod rząd". Dalej będziemy rozpatrywać tylko \(\displaystyle{ n \geq 3}\). Niech \(\displaystyle{ b}\) oznacza liczbę wygranych setów przez Borela w \(\displaystyle{ n}\) setach. Wtedy liczba setów wygranych przez Cantelliego wynosi \(\displaystyle{ n-b}\).
\(\displaystyle{ P(A_n)=p^b (1-p)^{n-b}}\)
Zauważmy, że stosunki liczby wygranych setów przez Borela do liczby wszystkich setów nie są byle jakie. W skrajnym przypadku mecz będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ BBCBBCBBCBBC \ldots}\), gdzie B to set wygrany przez Borela, a C przez Cantelliego. Zobaczmy kiedy Borel ma najlepszy stosunek. Po pierwszych pięciu meczach jest to \(\displaystyle{ \frac 45}\). Po pierwszych ośmiu - \(\displaystyle{ \frac 68 \leq \frac 45}\). Po pierwszych jedenastu ma \(\displaystyle{ \frac{8}{11} \leq \frac 68}\). I tak dalej: stosunki się zmniejszają. Więc najlepszy, jaki może osiągnąć to \(\displaystyle{ \frac 45}\), a najgorszy wtedy, gdy role się odwrócą, tzn. Cantelli będzie wygrywał więcej - wtedy stosunek Borela będzie w najgorszym razie równy \(\displaystyle{ \frac 15}\). Czyli:
\(\displaystyle{ \frac 15 \leq \frac bn \leq \frac 45 \\
\frac n5 \leq b \leq \frac 45 n}\)
Dla ułatwienia dalszego zapisu niech \(\displaystyle{ B}\) oznacza "\(\displaystyle{ b}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ \frac n5 \leq b \leq \frac 45 n}\)".
Przypomnijmy, że \(\displaystyle{ P(A_n)=p^b (1-p)^{n-b}}\). Spróbujmy zbadać szereg \(\displaystyle{ \sum P(A_n)}\). Jeśli będzie zbieżny, to z lematu Borela-Cantelliego wyjdzie, że \(\displaystyle{ P(\limsup A_n)=0}\), co będzie oznaczało, że zdarzeń \(\displaystyle{ A_k}\) może być co najwyżej skończona ilość.
\(\displaystyle{ 1^n=((1-p)+p)^n=|\mbox{dwumian Newtona}|=\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} p^{n-i}(1-p)^i}\)
Wartości symbolu Newtona są naturalne, zatem \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} p^{n-i}(1-p)^i > \sum_{i=0}^{n} p^{n-i}(1-p)^i}\).
Przypomnę, że wcześniej zdefiniowaliśmy warunek \(\displaystyle{ B}\). Spójrzmy na ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ \sum_B^n P(A_n)=\sum_B^n p^b(1-p)^{n-b}}\). Zatem to jest to samo, co prawa strona nierówności linijkę wyżej, tylko z nałożonymi dodatkowymi warunkami (opisanymi jako \(\displaystyle{ B}\)), czyli składników sumy jest mniej. Wszystkie składniki są dodatnie. Mamy zatem nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_B^n P(A_n) = \sum_B^n p^b(1-p)^{n-b} < \sum_{i=0}^{n} p^{n-i}(1-p)^i}\).
Podsumowując ten ciąg nierówności, mamy \(\displaystyle{ \sum_B^n P(A_n) < 1^n}\), czyli \(\displaystyle{ \lim \sum_B^n P(A_n) < \lim 1^n}\), czyli \(\displaystyle{ \sum_B^\infty P(A_n)}\) jest zbieżny. Z lematu Borela-Cantelliego mamy, że \(\displaystyle{ P(\limsup A_n)=0}\), czyli prawdopodobieństwo, że będzie nieskończenie wiele zdarzeń \(\displaystyle{ A_n}\) wynosi zero, więc prawdopodobieństwo, że mecz się zakończy wynosi \(\displaystyle{ 1}\).