Stochastyczna równoważność i nierozróżnialność

[leszczu450]

Cześć!

Od kilku godzin patrze na dwie definicje i nie mogę ich zrozumieć. Pomocy.

Mówimy, że procesy stochastyczne \(\displaystyle{ X= \left\{ X_t\right\}_{t \in T}, Y=\left\{ Y_t\right\}_{t \in T}}\) są stochastycznie równoważne, jeżeli:

\(\displaystyle{ \forall_{t \in T} \quad \mathbb{P}(X_t=Y_t)=1}\).

Mówimy, że procesy stochastyczne \(\displaystyle{ X= \left\{ X_t\right\}_{t \in T}, Y=\left\{ Y_t\right\}_{t \in T}}\) są nierozróżnialne, jeżeli:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\forall_{t \in T} \ X_t=Y_t)=1}\).

Nie widzę różnicy.

Z góry dziękuję za pomoc.

[Adifek]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\forall_{s \in T} \ X_s=Y_s)= \mathbb{P}( \bigcap_{s\in T} \left\{ X_s = Y_s \right\} ) \le \mathbb{P}(X_t=Y_t) \quad \forall t \in T}\)

[leszczu450]

Adifek, i co to ma wspólnego z moim pytaniem? : ) Może sprecyzuje:

1. Co oznacza intuicyjnie warunek stochastycznej równoważności? Po co takie pojęcie jest w ogóle wprowadzane?
2. Czym przede wszystkim różni się nierozrónialność od stochastycznej równoważności? Dlaczego ten warunek z \(\displaystyle{ \forall_{t \in T}}\) raz jest "pod" prawdopodobieństwem, a raz poza?

Po głębszej analizie dochodzę do wniosku, że Twoje rozumowanie pokazało, że z nierozrónialności wynika stochastyczna równoważność. Tego zrobiłeś dowód. Zgadza się?

[Adifek]

Tak.

[leszczu450]

Adifek, a skąd wzięła się pierwsza równość?

[Adifek]

A to nie jest oczywiste? Z definicji przekroju uogólnionego.

[leszczu450]

Adifek, no nie widzę tego. Powiem Tobie może, po co mi to wszystko. Mam rpzed sobą Stwierdzenie:

Załóżmy, że procy \(\displaystyle{ X,Y}\) mają prawie wszystkie trajektorie prawostronnie ciagłe. Wtedy, jeżeli \(\displaystyle{ X,Y}\) są stochastycznie równoważne, to są nierozróżnialne.

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) będzie zbiorem liczb wymiernych i niech:

\(\displaystyle{ Omega_0= left{ omega in Omega , X_t left( omega
ight) =Y_t left( omega
ight) , t in left[ 0, infty
ight) cap mathbb{Q}
ight}}\)

Wówczas z założenia i ciągłości z góry miary mamy:

\(\displaystyle{ mathbb{P} left( Omega_0
ight) = mathbb{P} left( igcap_{t in left[ 0, infty
ight) cap mathbb{Q} } left{ X_t=Y_t
ight}
ight) =1}\)

Dowód idzie dalej, ale ja już tego nie rozumiem : (

[Spektralny]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\forall_{s \in T} \ X_s=Y_s)= \mathbb{P}( \bigcap_{s\in T} \left\{ X_s = Y_s \right\} ) \le \mathbb{P}(X_t=Y_t) \quad \forall t \in T}\)

Jak zwykle w teorii procesów stochastycznych pojawia się drobny problem z mierzalnością części wspólnej nieprzeliczalnie wielu zbiorów (przypadek, gdy zbiór indeksów jest nieprzeliczalny). Dokładniej, \(\displaystyle{ (X_s = Y_s, \forall s)}\) nie musi być zdarzeniem.

[leszczu450]

Spektralny, czyli to co napisał Adifek nie jest poprawne rozumowanie?

[Spektralny]

Dla procesów dyskretnych jest poprawnie. Dla procesów ciągłych trzebaby się więcej pomęczyć.

[leszczu450]

Spektralny, hmm czyli to nie takie proste udowodnić, że z nierozróżnialności wynika stochastyczna równoważność.

A moje drugie pytanie: dlaczego przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary jest zbiorem pełnej miary, czyli inaczej, dlaczego:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\forall_{s \in T_0} \ X_s=Y_s)= \mathbb{P}( \bigcap_{s\in T_0} \left\{ X_s = Y_s \right\} )}\)

, gdzie \(\displaystyle{ T_0}\) to pewien przeliczalny zbiór.

?

[Spektralny]

A moje drugie pytanie: dlaczego przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary jest zbiorem pełnej miary?

Zastosuj prawa de Morgana - pytanie jest zatem równoważne pytaniu o to dlaczego suma przeliczalnie wielu zbiorów miary zero jest miary zero. Ano wynika to z przeliczalnej podaddytywności miary.

[leszczu450]

Spektralny, a no jasne... Kiedy ja zaczne myśleć... to ten problem mam już za sobą. : ) Dziękuję bardzo!!! : )

A czy potrafisz odpowiedzieć na moje pytania odnośnie samej intuicji. Po co wprowadza sie pojęcia stochastycznej równoważności, nierozróżnialności i zgodności rozkładów skończenie wymiarowych procesów stochastycznych? Pytanie dziwne. Ale chodzi mi o to, jak w ogóle w jakiś rozważaniach dojśc do potrzeby wprowadzenia takich definicji i w sumie to co się kryje za nimi?

[Spektralny]

Jaka jest intuicja w mówieniu, że Jaś jest podobny do dziadka Zenona albo, że Jacek i Placek są do siebie podobni?

[leszczu450]

Spektralny, ale to są różne rodzaje podobieństwa. Dlaczego nie wystarczy nam np. sama stochastyczna równoważność?