Urny i prawdopodobieństwo na zbiorach

[PAK]

1.Pierwsza urna zwiera 2 białe kule i 5 czarnych.Druga 4 białe i 2 czarne.Losujemy jedną kulę z
pierwszej urny i wrzucamy ją do drugiej.Następnie losujemy bez zwracania dwie kule z drugiej
urny.Jakie jest prawdopodobieństwo tego że w pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę białą jeśli w
drugim wylosowaliśmy jedną kulę białą i jedną czarną.

2.Niech \(\displaystyle{ A,B \subseteq \Omega}\) oraz \(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{3}}\) ,\(\displaystyle{ P(B)=\frac{3}{4}}\).Mam kolejno sprawdzić czy prawdą jest że :
a)\(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac{1}{2}}\)
b)\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne
c)\(\displaystyle{ A\cup B=\Omega}\)
d)\(\displaystyle{ P(A|B)<\frac{1}{2}}\)

[szachimat]

Ad 1
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite oblicz pr. tego, że w drugim losowaniu wylosowaliśmy jedną kulę białą i jedną czarną, a następnie wzór Bayesa.
Ad 2
Czegoś musi brakować w treści

[PAK]

Ad 1
No wiem że z Bayesa Mógłbyś powiedzieć ile Ci wyszło ?

Ad 2
Nie było nic więcej

[szachimat]

Ad 1 - wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

[PAK]

Podobno ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

[szachimat]

Podobno ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

- zgadza się - błąd był u mnie w rachunkach.

[PAK]

Mi to wychodzi :
\(\displaystyle{ B _{I-B}}\) - pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę białą
\(\displaystyle{ A}\) w drugim losowaniu wybraliśmy kulę białą i czarną
\(\displaystyle{ B _{II-B,B}}\) w drugim losowaniu wybraliśmy dwie kule białe
\(\displaystyle{ B _{II-C,C}}\) w drugim losowaniu wybraliśmy dwie kule czarne

\(\displaystyle{ P(B _{I-B}|A)= \frac{P(A|B _{I-B})P(B _{I-B}) }{P(A|B _{I-B})P(B _{I-B})+P(A|B _{I-C})P(B _{I-C})}}\)

\(\displaystyle{ P(B _{I-B}|A)= \frac{\left( \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{6}+ \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{6}\right) \cdot \frac{2}{7} }{\left( \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{6}+ \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{6}\right) \cdot \frac{2}{7} +\left( \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6}+ \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6}\right) \cdot \frac{5}{7} }= \frac{1}{3}}\)

[szachimat]

Ale co Ty liczysz?
Powinno być:
\(\displaystyle{ A_{1}}\) - pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę białą
\(\displaystyle{ A_{2}}\) - pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę czarną
B - w drugim losowaniu wybraliśmy kulę białą i czarną
Wtedy:
\(\displaystyle{ P( A_{1})= \frac{2}{7}}\)
\(\displaystyle{ P( A_{2})= \frac{5}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(B/ A_{1})= \frac{10}{21}}\)
\(\displaystyle{ P(B/ A_{2})= \frac{12}{21}}\)
I z całkowitego:
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{80}{147}}\)
A dalej z Bayesa wyjdzie tak jak powinno.

[PAK]

Poprawiłem ,bo źle przepisałem nawiasy i symbole.Stosuję zwór Bayesa.

[szachimat]

W takim razie zapiszę moje obliczenia:
\(\displaystyle{ P(A _{1}/B)= \frac{P(B/A _{1}) \cdot P(A _{1} ) }{P(B)} = \frac{ \frac{10}{21} \cdot \frac{2}{7} }{ \frac{80}{147} } = \frac{1}{4}}\)

[PAK]

Już widzę błąd.Źle dodane xD Dzięki.Temat do zamknięcia.