Prawdopodobieństwo wygrania zawodów

[kalwi]

Katniss Everdeen i Robin Hood uczestniczą w turnieju łuczniczym. Najpierw jednocześnie strzelają do celu po jednym razie i jeśli jedno z nich trafi, a drugie chybi, to zawody kończą się. Jeśli oboje trafią lub oboje chybią, znów strzelają po jednym razie i tak dalej aż do skutku. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej Katniss, jeśli trafia ona z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ k}\), a Robin z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ r}\)? Obliczyć to prawdopodobieństwo dla \(\displaystyle{ k = 4/5}\), \(\displaystyle{ r = 5/6}\). Wyniki poszczególnych strzałów są niezależne.

próbowałem zrobić z pstwa warunkowego,
A - katniss trafi
B - robin nie trafi

I standardowo,
\(\displaystyle{ P\left( A | B \right)= \frac{P\left( A \cap B\right) }{P(B)}}\)

ale to jest raczej źle. Myślałem o Bernoullinim, ale sam nie wiem. Proszę o pomoc

[Medea 2]

Jeżeli najpierw pudłowali \(\displaystyle{ n}\) razy, a potem trafiła tylko Katniss, to zdarzyło się to z prawdopodobieństwem

\(\displaystyle{ \left[\left(1-\frac 4 5 \right)\left(1-\frac 5 6\right)\right]^n \cdot \frac 4 5 \cdot \left(1-\frac 5 6\right) = p_n}\)

Policz

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty p_n}\)

[kalwi]

No dobra, to jest sytuacja gdy nie trafiają, nie trafiają, potem jedno trafi i drugie nie.
Z kolei gdy obydwoje będą trafiać, to wtedy będzie po prostu
\(\displaystyle{ \left( \frac 4 5 \cdot \frac 5 6\right) ^m \cdot \frac 4 5 \cdot \left(1-\frac 5 6\right) = p_m}\)

I należy policzyć sumę: \(\displaystyle{ \sum_{m=0}^\infty p_m}\)

I potem po prostu dodać te 2 sumy i to jest wynik końcowy?

[Medea 2]

Dokładnie! Na szczęście z prawdopodobieństwem równym zero gra będzie ciągnęła się w nieskończoność, więc to już wszystko.