Winda prawdopodobieństwo

[macikiw2]

Do windy na parterze budynku wysiadło 8 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z pięciu pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo , że na jednym z pięter wysiadło co najmniej 6 osób ?

\(\displaystyle{ O=5 ^{8}}\)

A zdarzenie jak będą ?
Na jednym z pięter wysiada \(\displaystyle{ 6}\) osób. Zakładając że na pierwszym piętrze wysiądzie \(\displaystyle{ 6}\) to na kolejnych muszę rozlosować 2 osoby. Czyli \(\displaystyle{ 6 \cdot {4 \choose 2}}\) i to jeszcze razy ilość pięter. Potem zakładam że na pierwszym wysiądzie 7. Czyli \(\displaystyle{ 7 \cdot {4 \choose 1}}\) i to jeszcze razy ilość pięter. Potem zakładam że na pierwszym piętrze wysiądzie 8 osób czyli 8 razy ilość piętr.
Otrzymam poprawny wynik czy źle ?

[szachimat]

Przemyśl to jeszcze raz i pomyśl o permutacjach z powtórzeniami. Wychodzi Ci dużo za mało.

[macikiw2]

Wolałbym to zrobić bez używania permutacji. Jakbym znał wynik to mógłbym pokombinować ale nie znam .
W przypadku gdy wysiada 8 osób albo 7 na jednym piętrze to łącznie wychodzi mi 180 możliwości.
Jak wysiada 6 osób to teraz po przemyśleniu wyszło mi 480.

[szachimat]

To może przełam się do permutacji, bo oba te wyniki masz źle.

[macikiw2]

Żeby korzystać najpierw trzeba wiedzieć jak.

1. Na jednym piętrze wysiada 6 osób. Wariacje bez powtórzeń \(\displaystyle{ {8 \choose 6}}\) . 4 przypadki gdy osoby wysiadają razem na tym samym piętrze i 12 przypadków gdy osoby wysiadają pojedynczo :
1100
1010
1001
0110
0101
0011

1 oznacza osobę 0 brak osoby. Osoby są różne więc 6 razy 2 czyli mamy te 12 przypadków.

Przemnożymy
\(\displaystyle{ {8 \choose 6} \cdot 16 \cdot 5 =2240}\)

2. Na jednym piętrze wysiada 7 osób.
\(\displaystyle{ {8 \choose 7} \cdot 5 \cdot 4 = 160}\)

3. Na jednym piętrze wysiada 8 osób :
5 możliwości

Łącznie \(\displaystyle{ 2405}\) .

Dalej źle... ?

[mat_61]

Jest dobrze.
Te \(\displaystyle{ 16}\) rozpisanych przypadków możesz zapisać jako \(\displaystyle{ 4^2}\)

Poza tym \(\displaystyle{ {8 \choose 6}}\)to nie są wariacje bez powtórzeń.

[szachimat]

Teraz jest dobrze.
Napisałeś: Żeby korzystać z permutacji, najpierw trzeba wiedzieć jak.
To proste:
\(\displaystyle{ P _{8} ^{6}}\) - permutacje 8-elementowe z powtórzeniami, w których jeden element powtarza się 6 razy, co jest równe \(\displaystyle{ \frac{8!}{6!}}\).
\(\displaystyle{ P _{8} ^{6,2}}\) - permutacje 8-elementowe z powtórzeniami, w których jeden element powtarza się 6 razy, a jeden element 2 razy, co jest równe \(\displaystyle{ \frac{8!}{6! \cdot 2!}}\).
Na przykład z liter MAMA, otrzymamy 6 permutacji: \(\displaystyle{ P _{4} ^{2,2}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}}\)
Z liter OKNO, otrzymamy 12 permutacji: \(\displaystyle{ P _{4} ^{2}=\frac{4!}{2!}}\)