Prawdopodobieństwo pięter

[strefa61]

Mamy 8 osób i 5 pięter, trzeba policzyć prawdopodbieństwo, że co najmniej 6 osób wysiadło na tym samym piętrze. Prosze o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=5^8}\)
Teraz możliwości kiedy wysiada co najmniej 6 osób na tym samym piętrze:
Wybieram jedno piętro i 6 osób, które na nim wysiada:
\(\displaystyle{ {8\choose 6}}\) mamy już jedno piętro i teraz musimy wybrać miejsca dla 2 pozostałych osób:
1: opcja, w której 2 pozostałe osoby wysiadają na jakimś jednym piętrze:\(\displaystyle{ {8\choose 6}\cdot 5}\)
2: 2 pozostałe osoby wysiadły na 2 różnych piętrach (wliczamy w to piętro, na którym wysiadło tamte 6 osób):\(\displaystyle{ {8\choose 6}\cdot {5\choose 2}}\)
no więc:
\(\displaystyle{ {8\choose 6}\cdot 5 + {8\choose 6}\cdot {5\choose 2}}\) i dodatkowo muszę to pomnożyć przez 5 bo to "pierwsze" piętro moge również wybrać na 5 sposobów a więc:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=5\left[{8\choose 6}\cdot 5 + {8\choose 6}\cdot {5\choose 2} \right]}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{5^8}=\frac{84}{15625}}\)
no i to prawdopodobieństwo nie wychodzi za duże, coś pominąłem?

[mostostalek]

może prościej: \(\displaystyle{ 5^2}\) na tyle sposobów dwie pozostałe osoby mogą wysiąść na 5 piętrach..

\(\displaystyle{ {8 \choose 6} \cdot 5}\) - na tyle sposobów wybierasz te 6 osób i piętro na którym wysiądą..

Mnożysz..

Powinno być:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{8 \choose 6}}{5^5}}\)

[szachimat]

Aż tak bardzo to się chyba nie uprości.

[jutrvy]

Przypadek 1 jest OK, ale nie do końca. Powinno być \(\displaystyle{ 5\cdot {8\choose 6}\cdot 4}\) najpierw wybierasz piętro dla szóstki, potem dla pozostałych wybierasz już tylko z pozostałych czterech pięter.

Przypadek 2: źle. Powinno być:

\(\displaystyle{ 5 \cdot {8 \choose 6} \cdot {4 \choose 2} \cdot 2}\), najpierw wybieram jak w przypadku pierwszym, potem mówię, że wybieram dla ostatnich dwóch, którzy nie wysiedli na tym jednym piętrze z sześcioma innymi ziomami dwa piętra i mnożę przez dwa, bo na dwa sposoby mogę te dwa wybrane piętra obsadzić moimi dwoma ziomami.

-- 18 mar 2015, o 21:35 --

może prościej: \(\displaystyle{ 5^2}\) na tyle sposobów dwie pozostałe osoby mogą wysiąść na 5 piętrach..

Nie - te dwie mają wysiąść na innym piętrze, niż sześciu, którzy wysiedli na tym samym, mamy więc do wyboru dwa z czterech.-- 18 mar 2015, o 21:44 --Dopowiedzenie: masz rację, ale w tym zadaniu ten fakt prowadzi na złą drogę.

[szachimat]

Zostają jeszcze przypadki, że siedem osób wysiada na jednym piętrze, oraz osiem osób wysiada na jednym piętrze.

[strefa61]

Dzięki za odpowiedzi, jak odszedłem od komputera to sobie uświadomiłem, że da sie policzyć to w sposób mostostaleka.

[jutrvy]

Spoko - ja tylko sprawdziłem Twoje przypadki

[mostostalek]

jutrvy.. przeczytaj dokładnie zadanie.. 6 osób minimalnie na jednym piętrze.. pozostałe dwie osoby również mogą wysiąść na tym piętrze co wybrana szóstka.

[jutrvy]

Aha... no dobra - przepraszam wyszedł mi taki niechcący-trollllllllling...

[mostostalek]

szachimat.. dlaczego miałoby się nie uprościć??
Tutaj chodzi tylko o to na ile sposobów możemy wybrać 6 osób z grupy 8 osób + jak można przydzielić dwie osoby + tą grupę do 5 pięter.. bez żadnych wskazań, że ktoś gdzieś nie może wysiąść.

[szachimat]

mostostalek: To podzielmy się informacją o tym ile nam wychodzi. Mam świadomość tego, że w kombinatoryce każdy upatrzy sobie swoją drogę postępowania i w związku z tym, każdy może otrzymać w efekcie końcowym ten sam wynik. Czasem trudno wyrzucić z myśli swoje rozumowanie i zacząć myśleć tak jak druga osoba. Może się tak zdarzyć, że ktoś coś pominął lub czegoś nie zauważył, dlatego fajnie jest jak się nie targujemy o to, kto ma lepiej, tylko dochodzimy do ostatecznej dobrej postaci.

Mi wychodzi inaczej niż u Ciebie, a zatem gdzie jest źle:
\(\displaystyle{ 5 \cdot P _{8} ^{6,2} \cdot 4+5 \cdot P _{8} ^{6} \cdot {4 \choose 2} +5 \cdot P _{8} ^{7} \cdot 4+5 \cdot P_{8} ^{8} =2405}\)

[mostostalek]

Drugi składnik.. Wybór dwóch różnych pięter chyba nie wystarczy.. trzeba jeszcze przemnożyć przez 2.. Poza tym trochę chyba rachunki skopałeś.. Niemniej i tak wychodzi inaczej niż mi..

Pytanie w takim razie co liczę podwójnie jeśli liczę w ten sposób:

\(\displaystyle{ {8 \choose 6} \cdot 5 \cdot 5^2}\)

Wybór osób do grupy jest jasny.. na 5 sposobów piętro wybrane dla tych osób, na \(\displaystyle{ 5^2}\) wybór pięter dla pozostałej dwójki. W ten sposób przecież łapię wszystkie przypadki na raz..

[szachimat]

Drugi składnik.. Wybór dwóch różnych pięter chyba nie wystarczy.. trzeba jeszcze przemnożyć przez 2.. Poza tym trochę chyba rachunki skopałeś..

Nie trzeba mnożyć przez dwa, bo permutacje zastosowane w tym wzorze to uwzględniają, a w wyniku faktycznie wkradła mi się literówka, bo powinno być 2405 (poprawiłem)

strefa61, czy któryś wynik zgadza się z odpowiedzią?

[mostostalek]

już wiem! W moim rozwiązaniu są powtórzenia.. weźmy np przypadek, kiedy wszystkie osoby lądują na jednym piętrze.. jest dokładnie 5 takich przypadków w zależności tylko od piętra.. U mnie są one powtarzane w zależności od doboru osób do grupy 6-osobowej..

Co do rozwiązania szachimat:

\(\displaystyle{ {4 \choose 2}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=6}\) to jest tylko wybór dwóch pięter spośród 4.. Nie ma tu różnicy która osoba na które piętro trafi..
Poprawne rozwiązanie to zatem najprawdopodobniej:

\(\displaystyle{ 5 \cdot {8 \choose 6} \cdot 4+5 \cdot {8 \choose 6} \cdot {4 \choose 2} \cdot 2! +5 \cdot {8 \choose 7} \cdot 4+5 \cdot {8 \choose 8}=2405}\)

[szachimat]

Co do rozwiązania szachimat:

\(\displaystyle{ {4 \choose 2}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=6}\) to jest tylko wybór dwóch pięter spośród 4.. Nie ma tu różnicy która osoba na które piętro trafi..
Poprawne rozwiązanie to zatem najprawdopodobniej:

\(\displaystyle{ 5 \cdot {8 \choose 6} \cdot 4+5 \cdot {8 \choose 6} \cdot {4 \choose 2} \cdot 2! +5 \cdot {8 \choose 7} \cdot 4+5 \cdot {8 \choose 8}=2405}\)

Przecież: \(\displaystyle{ 5 \cdot P _{8} ^{6} \cdot {4 \choose 2}=5 \cdot {8 \choose 6} \cdot {4 \choose 2} \cdot 2!}\)
Już wcześniej napisałem: "Nie trzeba mnożyć przez dwa, bo permutacje zastosowane w tym wzorze to uwzględniają".

A zatem mamy to samo.