Rozkład jednostajny

[nowyyyy4]

Niech \(\displaystyle{ X_1 , X_2 , \ldots}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym rozkładzie
\(\displaystyle{ P \left( X_i = 1 \right) = \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ P \left( X_i = 0 \right) = \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2, \ldots}\)

Przez \(\displaystyle{ X}\) oznaczmy zmienną losową daną wzorem

\(\displaystyle{ X= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{X_k}{2^k}}\)

Wykazać, że \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\)


Poproszę o wyjaśnienie tego rozwiązania:
Niech \(\displaystyle{ \delta_{i} = 0}\) lub \(\displaystyle{ \delta_{i} = 1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2 \ldots}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) taki, że \(\displaystyle{ x = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\delta_{k}}{2^k}}\)
Liczymy dystrybuantę z definicji

\(\displaystyle{ F(x) = Pr (X^{-1} (- \infty , x))}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\} = \left\{ \omega : \; X_1(\omega) < \delta_{1} \right\} \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; X_2(\omega) < \delta_{2} \right\} \cup \ldots \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n-1}(\omega) = \delta_{n-1} \; , X_{n}(\omega) < \delta_{n} \right\} \cup \ldots}\)

Te zbiory są rozłączne, zatem
\(\displaystyle{ P \left( \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} P \left( \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right)}\)

zmienne losowe są niezależne, więc

\(\displaystyle{ P \left( \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}P \left( X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\delta_{n+1}}{2^{n+1}} =x}\)

Moje pytanie jest odnośnie tego, dlaczego zachodzi ta równość
\(\displaystyle{ \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\} = \left\{ \omega : \; X_1(\omega) < \delta_{1} \right\} \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; X_2(\omega) < \delta_{2} \right\} \cup \ldots \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n-1}(\omega) = \delta_{n-1} \; , X_{n}(\omega) < \delta_{n} \right\}}\)

i skąd wiadomo, że
\(\displaystyle{ P \left( X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right) =\frac{\delta_{n+1}}{2}}\)?

[exupery]

Moje pytanie jest odnośnie tego, dlaczego zachodzi ta równość
\(\displaystyle{ \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\} = \left\{ \omega : \; X_1(\omega) < \delta_{1} \right\} \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; X_2(\omega) < \delta_{2} \right\} \cup \ldots \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n-1}(\omega) = \delta_{n-1} \; , X_{n}(\omega) < \delta_{n} \right\}}\)

Zapisz sobie \(\displaystyle{ x}\) w systemie binarnym, wówczas aby jedna liczba była większa od drugiej, to rozbijasz na przypadki, gdy "pierwsze" \(\displaystyle{ k}\) liczb jest równe, a na miejscu \(\displaystyle{ k+1}\) się różnią.

i skąd wiadomo, że
\(\displaystyle{ P \left( X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right) =\frac{\delta_{n+1}}{2}}\)?

Rozpisz sobie, co gdy \(\displaystyle{ \delta_{n+1}=0}\) i co gdy \(\displaystyle{ \delta_{n+1}=1}\).