Prawdopodobieństwo wykonania przedmiotu w grze internetowej

[glupek]

Istnieje gra internetowa, w której można wytwarzać przedmioty z dwóch surowców, \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Przedmiot może mieć 3 rodzaje zaawansowania - podstawowy - \(\displaystyle{ i1}\), średni - \(\displaystyle{ i2}\), mistrzowski - \(\displaystyle{ i3}\).

Ulepszanie przedmiotu odbywa się etapami, tj. najpierw tworzy się podstawowy, później na jego bazie średni, na końcu zaś - mistrzowski. Występują zatem 3 etapy tworzenia przedmiotu.

Reguły:

1. etap:

Do utworzenia \(\displaystyle{ i1}\) potrzeba 1 surowiec \(\displaystyle{ a}\) i 20 sztuk surowca \(\displaystyle{ b}\). Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(\displaystyle{ P1}\). W przypadku porażki, następuje utrata surowca \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ a}\) zostaje).

2. etap:

Do przekształcenia \(\displaystyle{ i1}\) w \(\displaystyle{ i2}\) potrzeba dostarczyć przedmiot \(\displaystyle{ i1}\) oraz 75 x \(\displaystyle{ b}\). Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(\displaystyle{ P2}\). W przypadku porażki następuje JEDNO z dwóch zdarzeń:
- utrata surowców \(\displaystyle{ b}\)
albo
- utrata przedmiotu \(\displaystyle{ i1}\).

3. etap:

Do przekształcenia \(\displaystyle{ i2}\) w \(\displaystyle{ i3}\) potrzeba dostarczyć przedmiot \(\displaystyle{ i2}\) oraz 150 x \(\displaystyle{ b}\). Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(\displaystyle{ P3}\). W przypadku porażki następuje JEDNO z dwóch zdarzeń:
- utrata POŁOWY surowców \(\displaystyle{ b}\) (75 sztuk) oraz zdegradowanie \(\displaystyle{ i2}\) do \(\displaystyle{ i1}\)
albo
- utrata przedmiotu \(\displaystyle{ i2}\).

[*] Wartości \(\displaystyle{ P1}\), \(\displaystyle{ P2}\), \(\displaystyle{ P3}\) nie są do końca potwierdzone, ale najprawdopodobniej jest to:
\(\displaystyle{ P1}\) = 75% lub 90%
\(\displaystyle{ P2}\) = 33%
\(\displaystyle{ P3}\) = 10%

[*] Przyjmujemy, że prawdopodobieństwo każdego z negatywnych wariantów w przypadku porażki przy przekształceniu przedmiotu jest równe (50%).

Pytania:
1. Jakie jest prawdopodobieństwo wykonania mistrzowskiego przedmiotu \(\displaystyle{ i3}\) za pierwszym razem
2. Jakie są oczekiwane (średnie) ilości surowców wymagane do stworzenia mistrzowskiego przedmiotu \(\displaystyle{ i3}\).

Myślę, że jest to zadanie z pogranicza kilku działów matematyki, nie do końca wiedziałem, w którym je zamieścić. Zastanawiałem się również, w jaki sposób używać kodu LaTeX w przypadku tego zadania, zrobiłem to intuicyjnie, przepraszam za wszelkie błędy z tym związane.

[Everard]

Punkt pierwszy jest prosty - prawdopodobieństwo wynosi po prostu \(\displaystyle{ P1\cdot P2\cdot P3}\). W przypadku podanym przez ciebie byłoby to \(\displaystyle{ 2.5\%, 9\%}\), odpowiednio (zależnie od \(\displaystyle{ P1}\)).

Teraz, łatwo widać, że do wykonania \(\displaystyle{ i_1}\) zawsze potrzebujemy dokładnie jednego surowca \(\displaystyle{ a}\). Do wykonania przedmiotu \(\displaystyle{ i1}\) potrzebujemy średnio \(\displaystyle{ P1\cdot 20+P1(1-P1)\cdot 40+...+P1(1-P1)^n\cdot (n+1)\cdot 20+...}\) surowca \(\displaystyle{ b}\), czyli
\(\displaystyle{ E^b_1=20P_1\sum_{n=}^\infty (1-P_1)^{n-1}n=\frac{20P_1}{(1-P_1)^2}}\)
na mocy wzoru
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty na^{n-1}=\frac1{(1-a)^2}.}\)

W przypadku drugiego przedmiotu, wyprowadzając analogicznie jak poprzednio i upraszczając, nasza suma wynosi
\(\displaystyle{ 75P_2(1+E^b_1)\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1-P_2}{2}\right)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}=75P_2(1+E^b_1)\frac{1}{(1-\frac{1-P_2}{2})^3}.}\)

Analogicznie rozumujemy w przypadku trzecim. Surowiec \(\displaystyle{ a}\) jest dużo łatwiejszy, więc to już zostawię.