Pierwiastki równania.

[saturas]

Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^2+bx+c=0}\) są
rzeczywiste \(\displaystyle{ |b|<2 \wedge |c|<1}\)

Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania \(\displaystyle{ ax^2+bx+1=0}\) są
dodatnie \(\displaystyle{ |b| \le 2 \wedge |a| \le 1}\)

Wiem, że trzeba jakoś narysować wykres i dobrze zaznaczyć, ale nie wiem jak. Z drugiego trzeba skorzystać z wzorów Viete'a. Proszę o pomoc jak się zabrać do takiego zadania.

[a4karo]

W prostokącie \(\displaystyle{ -2\leq b\leq 2,\ -1\leq c\leq 1}\) wyznacz punkty. Dla których spełnione są warunki nałożone na trójmian. Szukanym p-stwem będzie stosunek pola zaznaczonego obszaru do pola całego prostokąta.

W drugim podobnie.

[saturas]

W 1 powstanie prostokąt 4 na 2. Ale nie wiem ,które pole mam obliczyć. Dopiero zacząłem statystykę i naprawdę proszę wyjaśniać łopatologicznie

[a4karo]

Alez to nie ma nic wspólnego ze statystyką. punkty tego zbioru o współrzędnych \(\displaystyle{ (b,c)}\) odpowieadają trójmianowi \(\displaystyle{ x^2+bx+c}\). Masz powiedzieć dla jakich \(\displaystyle{ b,c}\) ma on pierwiastki rzeczywiste. To liceum.

[saturas]

\(\displaystyle{ \Delta= b^2-4c}\)

\(\displaystyle{ b^2-4c \ge 0}\)

\(\displaystyle{ c \le \frac{b^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ c=f(b)}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{b^2}{4}}\)

Następnie liczę całkę\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \frac{b^2}{4}db}\)

Dobrze myślę?

Ostateczny wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_c}= \frac{2}{3}}\)

[a4karo]

dobrze myslisz, ale całkę powinienes liczyć jednak od \(\displaystyle{ -2}\) a nie od \(\displaystyle{ 0}\). A ponadto przyjrzyj się polom: ile jest równe \(\displaystyle{ P_1}\)? (rozumiem, że oznaczasz przez obszar zdarzen sprzyjających). Ile wynosi \(\displaystyle{ P_c}\)?

[saturas]

Po prostu, żeby nie użerać się z minusami obliczyłem całkę od 0 do 2 a wynik pomnożyłem przez 2, bo 2 pole przecież musi być takie samo.

\(\displaystyle{ P_c=8}\)

\(\displaystyle{ P_1= \frac{16}{3}}\)

[a4karo]

OK. Teraz sam zrób drugą część.

[saturas]

\(\displaystyle{ \Delta= b^2-4a}\)

\(\displaystyle{ b^2-4a \ge 0}\)

\(\displaystyle{ -4a \ge -b^2}\)

\(\displaystyle{ a \le \frac{b^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{b^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ a=f(b)=\frac{b^2}{4}}\)

Dalej wzory Viete'a:

\(\displaystyle{ x_1+x_2= \frac{-b}{a} \Rightarrow \frac{-b}{a}>0 \Rightarrow b<0}\)

\(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{c}{a}>0 \Rightarrow c>0}\)

Po wyliczeniu:

\(\displaystyle{ P_1= \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ P_c=8}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{c}{a}>0 \Rightarrow c>0}\)

A to skąd się wzięło?

[saturas]

Ze wzorów Viete'a

[a4karo]

1) czym jest \(\displaystyle{ c}\)?
2) jak uzasadniasz przejście \(\displaystyle{ \dots \frac{c}{a}>0 \Rightarrow c>0}\)

[saturas]

1) hmm no chyba stałą w równaniu
2) pod \(\displaystyle{ a}\) podstawiłem sobie \(\displaystyle{ \frac{b^2}{4}}\)
skoro \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) muszą być dodatnie to stosunek \(\displaystyle{ \frac{4c}{b^2}}\) też musi być dodatni. \(\displaystyle{ b^2}\)jest dodatnie zatem \(\displaystyle{ 4c}\) tez będzie dodatnie

[a4karo]

Po pierwsze: napisz explicite czym jest c.
Po drugie: co uzasadnia podstawienie za \(\displaystyle{ a}\) liczby \(\displaystyle{ b^2/4}\). Przeciez warunek posiadania pierwiastków to \(\displaystyle{ b^2-4a\geq 0}\).

A co ma stosunek \(\displaystyle{ 4c/b^2}\) do dodatności pierwiastków?

[saturas]

Ok, zatem się poddaję. Myślałem, że jak podstawie sobie pod a tę wyliczoną wartość to sprawdzę z jakim znakiem będzie c... W takim razie jak to rozwiązać?