K+1 urn z których kazda zawiera K kul

[onlyhope69]

Potrzebuję pomocy przy takim zadaniu:
Mamy \(\displaystyle{ K+ 1}\) identycznych urn(\(\displaystyle{ K >1}\)), z których każda zawiera \(\displaystyle{ K}\) kul . W \(\displaystyle{ k}\)-tej urnie jest \(\displaystyle{ k-1}\) kul czarnych a pozostałe są białe. Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, ze jest ona czarna. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny (bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę czarną. (Wykorzystać wzór : \(\displaystyle{ 1 \cdot 2+2 \cdot 3+..+(n-1)n=(n-1)n(n+1)/3.)}\)

Proszę również o sprawdzenie tego zadania :
W każdej z trzech urn jest \(\displaystyle{ 5}\) kul, przy czym w pierwszej urnie są \(\displaystyle{ 4}\) kule biale i \(\displaystyle{ 1}\) czarna, w drugiej
\(\displaystyle{ 3}\) kule biale i \(\displaystyle{ 2}\) czarne, a w trzeciej \(\displaystyle{ 2}\) biale i \(\displaystyle{ 3}\) czarne. Z losowo wybranej urny losujemy bez
zwracania dwie kule, odkładamy je, a dokładamy do tej urny \(\displaystyle{ 1}\) kulę białą i \(\displaystyle{ 1}\) czarną. Następnie
z tej urny losujemy \(\displaystyle{ 1}\) kule. Jakie jest prawdopodobienstwo tego, że jest to kula biała, jezeli w
poprzednim losowaniu wyciągnięto \(\displaystyle{ 2}\) kule białe.

A-wylosowaliśmy kulę białą
\(\displaystyle{ U_{1}}\)-losujemy z 1 urny
\(\displaystyle{ U_{2}}\)-losujemy z 2 urny
\(\displaystyle{ U_{3}}\)-losujemy z 3 urny
\(\displaystyle{ P(U_{1})=P(U_{2})=P(U_{3})=13}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(U_{1})P(A|U_{1})+P(U_{2})P(A|U_{2})+P(U_{3})P(A|U_{3})=13(35+25+15)=25}\)

[Medea 2]

Formalizację zapisu zostawiam Tobie.

Jeśli wylosowaliśmy czarną kulę, to pochodziła z urny numer \(\displaystyle{ k}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ (k-1)/N}\), gdzie \(\displaystyle{ N = 1 + 2 + \dots + K}\). Szansa na kolejną czarną kulę z tej urny to \(\displaystyle{ (k-2)/N}\). Chcesz więc policzyć

\(\displaystyle{ \sum_{i = 2}^{K+1} \frac{i-1}{N} \cdot \frac {i-2}{N}}\)