Zmienne losowe

[ewapaula]

Proszę o pomoc szczególnie w pkt E
Dana jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 & x \le 1 \\ \frac{b}{x^3} & x >1 \end{cases}}\)

a) Ustal wartość stałej \(\displaystyle{ b}\) tak, aby funkcja ta była PDF zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
Gęstością prawd. (krótko gęstością, ang. probability density function - PDF) zmienna losowa typu ciągłego, nazywamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) która występuje pod znakiem całki określającej jej dystrybuantę
b) Naszkicuj krzywą gęstości.
c) Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę.
d) Oblicz prawd. zdarzenia \(\displaystyle{ X> 3/2}\)
e) Wyznacz kwantyle rzędu \(\displaystyle{ 0,1}\) i \(\displaystyle{ 0,9}\).

[leszczu450]

ewapaula, robimy najpierw podpunkt a) . Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \int_{\RR}f(x)\dd{x}=1}\). Tak wyznaczysz \(\displaystyle{ b}\). Pokaż jak liczysz.

[ewapaula]

ewapaula, robimy najpierw podpunkt a) . Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \int_{\RR}f(x)\dd{x}=1}\). Tak wyznaczysz \(\displaystyle{ b}\). Pokaż jak liczysz.

a)
\(\displaystyle{ \int _{- \infty}^{+ \infty}f(x)dx=\int _{- \infty}^1 0dx+\int _0^{+\infty} \frac{b}{x^3}=0+b\int_0 ^{+\infty}x^{-3}dx=-3b\cdot x^{-4} |_0^{+\infty}=0-(-3b)=3b}\)

\(\displaystyle{ 3b=1 \So b=\frac{1}{3}}\)

b)skoro mamy już wyliczone nasze \(\displaystyle{ b}\) to wstawiam je do funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) która wyraża naszą gęstość.

c) liczymy dystrybuantę. z definicji dystrybuanta jest to taka funkcja \(\displaystyle{ F}\) określająca dla każdej wartości \(\displaystyle{ x}\) pstwo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartość mniejszą lub równą \(\displaystyle{ x}\), co zapisuje się: \(\displaystyle{ F(x)=P(X \le x)}\).
A w praktyce będzie to wyglądało tak, że najpierw tę dystrybuantę obliczamy.
dla \(\displaystyle{ x \le 1}\)
\(\displaystyle{ F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du=\int _{-\infty}^1 0 du=0}\)



dla \(\displaystyle{ x \in (1; +\infty)}\)
\(\displaystyle{ F(x)= \int _{-\infty}^x f(u)du=\int _{-\infty}^1 0 du+\int _{1}^x \frac{1}{3u^3} du=0+\frac{1}{3} \int_1^x u^{-3}du=\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2u^2})|^x_1=\frac{-1}{6x^2}+\frac{1}{6}}\)

czyli mamy ogólnie dystrybuantę:

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0, x \le 1 \\ \frac{1}{6}-\frac{1}{6x^2}, x>1 \end{cases}}\)

d) teraz korzystam z definicji podanej wyżej
\(\displaystyle{ P(X>\frac{3}{2})=1-P(X \le \frac{3}{2})=1-(F(\frac{3}{2})-F(-\infty))=1-F(\frac{3}{2})+F(-\infty)=\\
=1-(\frac{1}{6}-\frac{1}{6\cdot(\frac{2}{3})^2})=1-\frac{1}{6}+\frac{1}{27}=\frac{47}{54}}\)

\(\displaystyle{ F(-\infty)=0}\)
Tak jak pewnie widzisz tutaj korzystam z obliczonej wcześniej dystrybuanty.-- 13 mar 2015, o 09:41 --czy jest ktoś w stanie obliczyć pkt E?? bo nie wiem jak się za to zabrać?

[miodzio1988]

dystrybuanta jest zle, nie spelnia zalozen dystrybuanty

[ewapaula]

czyli co powinnam zrobic?? pomozesz mi to jeszcze raz przeliczyc?

[miodzio1988]

Przelicz punkt a jeszcze raz bo juz tutaj jest zle

[ewapaula]

tak wiem, już poprawilam;) pkt e też mi się już udalo wyliczyć:)) dziękuje za pomoc;)