Rozkład zmiennej losowej

[nowyyyy4]

Niech \(\displaystyle{ X_1 , X_2 , \ldots}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym rozkładzie
\(\displaystyle{ P \left( X_i = 1 \right) = \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ P \left( X_i = 0 \right) = \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2, \ldots}\)

Przez \(\displaystyle{ X}\) oznaczmy zmienną losową daną wzorem

\(\displaystyle{ X= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{X_k}{2^k}}\)

Wykazać, że \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\)

Mam problem, bo chciałem to liczyć z definicji, ale nie wychodzi, proszę o pomoc.

[Adifek]

Pewnie najprościej będzie pokazać zbieżność funkcji charakterystycznych

[nowyyyy4]

\(\displaystyle{ \varphi_{X} (t) = \lim_{n \to \infty} \varphi_{\sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{2^k}} (t) = \lim_{n \to \infty} E e^{i t \sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{2^k}} = \lim_{n \to \infty} E ( e^{i t \frac{X_1}{2}} e^{i t \frac{X_2}{2^2}} \ldots e^{i t \frac{X_n}{2^n}}) = \lim_{n \to \infty} E ( e^{i t \frac{X_1}{2}}) E( e^{i t \frac{X_2}{2^2}}) \ldots E(e^{i t \frac{X_n}{2^n}}) =\lim_{n \to \infty} \varphi_{X_1} (\frac{t}{2}) \varphi_{X_2} (\frac{t}{2^2}) \ldots \varphi_{X_n} (\frac{t}{2^n}) =\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{i \frac{t}{2}}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{i \frac{t}{2^2}}) \ldots (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{i \frac{t}{2^n}})}\)
dalej nie wiem

-- 17 mar 2015, o 19:53 --

Poproszę o wyjaśnienie tego rozwiązania:
Niech \(\displaystyle{ \delta_{i} = 0}\) lub \(\displaystyle{ \delta_{i} = 1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2 \ldots}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) taki, że \(\displaystyle{ x = \sum_{i=1}{\infty} \frac{\delta_{k}}{2^k}}\)
Liczymy dystrybuantę z definicji

\(\displaystyle{ F(x) = Pr (X^{-1} (- \infty , x))}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\} = \left\{ \omega : \; X_1(\omega) < \delta_{1} \right\} \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; X_2(\omega) < \delta_{2} \right\} \cup \ldots \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n-1}(\omega) = \delta_{n-1} \; X_{n}(\omega) < \delta_{n} \right\}}\)

Te zbiory są rozłączne, zatem
\(\displaystyle{ P \left( \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\}\right) = \sum_{n=0}{\infty} P \left( \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right)}\)

zmienne losowe są niezależne, więc

\(\displaystyle{ P \left( \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\}\right) = \sum_{n=0}{\infty} \frac{1}{2^n}P \left( X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right) = \sum_{n=0}{\infty} \frac{\delta_{n+1}}{2^{n+1}} =x}\)-- 17 mar 2015, o 19:54 --

\(\displaystyle{ \varphi_{X} (t) = \lim_{n \to \infty} \varphi_{\sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{2^k}} (t) = \lim_{n \to \infty} E e^{i t \sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{2^k}} = \lim_{n \to \infty} E ( e^{i t \frac{X_1}{2}} e^{i t \frac{X_2}{2^2}} \ldots e^{i t \frac{X_n}{2^n}}) = \lim_{n \to \infty} E ( e^{i t \frac{X_1}{2}}) E( e^{i t \frac{X_2}{2^2}}) \ldots E(e^{i t \frac{X_n}{2^n}}) =\lim_{n \to \infty} \varphi_{X_1} (\frac{t}{2}) \varphi_{X_2} (\frac{t}{2^2}) \ldots \varphi_{X_n} (\frac{t}{2^n}) =\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{i \frac{t}{2}}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{i \frac{t}{2^2}}) \ldots (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{i \frac{t}{2^n}})}\)
dalej nie wiem

-- 17 mar 2015, o 19:53 --

Poproszę o wyjaśnienie tego rozwiązania:
Niech \(\displaystyle{ \delta_{i} = 0}\) lub \(\displaystyle{ \delta_{i} = 1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2 \ldots}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) taki, że \(\displaystyle{ x = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\delta_{k}}{2^k}}\)
Liczymy dystrybuantę z definicji

\(\displaystyle{ F(x) = Pr (X^{-1} (- \infty , x))}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\} = \left\{ \omega : \; X_1(\omega) < \delta_{1} \right\} \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; X_2(\omega) < \delta_{2} \right\} \cup \ldots \cup \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n-1}(\omega) = \delta_{n-1} \; X_{n}(\omega) < \delta_{n} \right\}}\)

Te zbiory są rozłączne, zatem
\(\displaystyle{ P \left( \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} P \left( \left\{ \omega : \; X_1(\omega) = \delta_{1}, \; \ldots \; X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right)}\)

zmienne losowe są niezależne, więc

\(\displaystyle{ P \left( \left\{ \omega : \; X(\omega) < x\right\}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}P \left( X_{n+1}(\omega) < \delta_{n+1} \right\} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\delta_{n+1}}{2^{n+1}} =x}\)