Jakieś prawdopodobieństwo

[musialmi]

Mamy 3 komody, w każdej z nich dwie monety. W każdej szufladzie jest jedna moneta:
w 1. komodzie obie monety są srebrne;
w 2. komodzie jest jedna srebrna i jedna złota;
w 3. komodzie obie monety są złote.
Wylosowano komodę, a następnie szufladę i znaleziona moneta okazała się być srebrna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga moneta w wylosowanej komodzie też jest srebrna?

Na początku sklasyfikowałem szukane prawdopodobieństwo jako całkowite, ale zrezygnowałem z tego i stwierdzam, że należy obliczyć warunkowe. Doszedłem też do wniosku, że trzecią komodę można olać zupełnie, gdyż nie wpływa ona na nic w tym zadaniu.
Według mnie powinniśmy liczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A|B)}\), gdzie:
A - w drugiej wylosowanej szufladzie wylosowanej komody jest srebrna moneta;
B - w pierwszej wylosowanej szufladzie wylosowanej komody jest srebrna moneta.
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=\frac 24}\), bo są dwie takie szuflady, żeby w pierwszej i drugiej szufladzie tej samej komody była moneta srebrna.
\(\displaystyle{ P(B)=\frac 34}\), bo są trzy szuflady, które mają w sobie srebrną monetę.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{\frac 24}{\frac 34}=\frac 23}\).

Gdyby brać pod uwagę trzecią komodę, to zmieniłoby się tyle, że zamiast czwórek w mianownikach, byłyby szóstki.
Czy to jest dobrze zrobione?

[Premislav]

Wynik masz dobry, bo sklepałem z całkowitego i też tak wyszło, a poza tym (mocniejszy argument, bo ja nic nie umiem z matmy) znam to zadanie z czasów LO i wtedy zrobiłem je, zwyczajnie i na chama wypisując możliwości (a w tej książce były odpowiedzi). Zdaję się, że zadanie znalazłem w jakiejś książce pana Raymonda Smullyana, może w troszeczkę innym brzmieniu. Łojezusiczku, całe wieki minęły, czuję się stary.

Natomiast trochę bym uważał na takie stwierdzenia w stylu

trzecią komodę można olać zupełnie, gdyż nie wpływa ona na nic w tym zadaniu.

Możesz za to stracić punkt na kolosie, jeżeli jakoś takiego pominięcia nie uzasadnisz (nie próbuję się w ten sposób mądrować w internetach, myślę, że i licznym moim rozwiązaniom można wiele zarzucić, po prostu znam, zwłaszcza z analizy, ból straty punktów za brak uzasadnienia czegoś, co się wydawało oczywiste).
Moje rozwiązanie: niech \(\displaystyle{ S}\) - zdarzenie "pierwsza moneta z wylosowanej szuflady komody okazała się być srebrną",\(\displaystyle{ SS}\) (lol, co za oznaczenie) -zdarzenie "druga moneta w tej komodzie też jest srebrna", \(\displaystyle{ A}\) - w wybranej komodzie mamy \(\displaystyle{ 2}\) srebrne monety, \(\displaystyle{ B}\)- w wybranej komodzie mamy 1 srebrną i \(\displaystyle{ 1}\) złotą monetę, \(\displaystyle{ C}\) - w wybranej komodzie mamy 2 złote monety.
Wówczas
\(\displaystyle{ P(SS|S)= \frac{P(S \cap SS)}{P(S)}= \frac{P(S\cap SS)}{P(S|A)P(A)+P(S|B)P(B)+P(S|C)P(C)}= \\ =\frac{ \frac{1}{3} }{1 \cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}+0 \cdot \frac{1}{3} } = \frac{2}{3}}\)
Komentarz: użyłem wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe i (mianownik) na prawdopodobieństwo całkowite; \(\displaystyle{ P(S \cap SS)= \frac{1}{3}}\), gdyż jest tylko jeden z trzech wyborów komody (a nie mamy podstaw, by nie uważać wszystkich trzech wyborów komody za równie prawdopodobne), który czyni możliwym (i tak się składa, że pewnym) to zdarzenie. Ale bardzo na siłkę to też można by rozpisać z prawdopodobieństwa całkowitego, tylko że wyjdą dwa zerowe składniki...

[musialmi]

Jejku, to jest straszne. Wynik wyszedł dobry, ale przy okazji tak powszechny, że nie wiem czy to nie przypadek ;p Najgorsze jest to, że nie widzę tu specjalnego powodu, żeby używać tych zaawansowanych metod, których pewnie powinienem użyć.
\(\displaystyle{ P(SS|S)}\) można policzyć szybciej po prostu wypisując możliwości ("na chama") - skoro zaszło \(\displaystyle{ S}\), to została wylosowana jedna z trzech srebrnych monet, a z tych dwie pozwalają na to, żeby druga też była srebrna - i mamy \(\displaystyle{ \frac 23}\). To jest smutne.

\(\displaystyle{ SS}\) (lol, co za oznaczenie)

"SS to wiadomo z czym się kojarzy. Z Niemcami. Bo scharfes S".