Z trójkąta o wierzchołkach (-2,-2),(2,-2),(2,2) wybrano losow punkt (X,Y). Znajdz rozkład zmiennej losowej Y. To znaczy: czy Y ma rozkład dyskretny? Jeśli tak, wyznacz najmniejszy zbiór , na którym rozkład ten jest skupiony oraz wyznacz odpowiednie prawdopodobieństwo. Czy Y ma rozkład ciągły? Jeśli tak , wyznacz jego gęstość.
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)} (x,y)= \fraq{1}{8} \ dla x \in (-2,2) \\ 0 \ w \ przeciwnym \ razie}\)
Jak wyznaczyć gęstość?
Gestośc rozkładu ciągłego z trójkąta
-
Everard
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Pomógł: 49 razy
Gestośc rozkładu ciągłego z trójkąta
Cześć,
Masz oczywiście na myśli
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)=\begin{cases} \frac18& (x,y)\in T\\0 & \mbox{ w przeciwnym wypadku}.\end{cases}.}\)
Teraz, aby wyliczyć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), liczymy
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_{\R}f_{(X,Y)}(x,y)dx.}\)
Dla ustalonego \(\displaystyle{ y}\) widzimy, że aby \(\displaystyle{ (x,y)\in T}\) (gdzie \(\displaystyle{ T}\) to nasz trójkąt), musi zachodzić \(\displaystyle{ x\in [y,2].}\) Zatem
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_y^2 \frac18 dx=\frac18(2-y).}\)
Masz oczywiście na myśli
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)=\begin{cases} \frac18& (x,y)\in T\\0 & \mbox{ w przeciwnym wypadku}.\end{cases}.}\)
Teraz, aby wyliczyć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), liczymy
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_{\R}f_{(X,Y)}(x,y)dx.}\)
Dla ustalonego \(\displaystyle{ y}\) widzimy, że aby \(\displaystyle{ (x,y)\in T}\) (gdzie \(\displaystyle{ T}\) to nasz trójkąt), musi zachodzić \(\displaystyle{ x\in [y,2].}\) Zatem
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_y^2 \frac18 dx=\frac18(2-y).}\)