Prawdopodobieństwo pięter

[strefa61]

Mamy 7-piętrowy budynek i 5 pasażerów w indzie na parterze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) każdy z nich wysiądzie na innym piętrze,
b) wysiądą na dwóch różnych piętrach
Ad.a: bierzemy pasażera 1, który może wysiąść na każdym piętrze a to jest zdarzenie pewne, następny pasażer musi wysiąść na innym więc \(\displaystyle{ P=\frac{6}{7}}\) , następny na innym niż 2 poprzednich więc : \(\displaystyle{ P=\frac{5}{7}}\) i w ten sposób dochodzimy do ostatniego i ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=1\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{360}{2401}}\)
b) na 2 różnych pietrach mogą wysiąść na 2 różne sposoby:
I: jeden pasażer wysiada na danym piętrze a 4 pozostałych wysiada na innym:\(\displaystyle{ P=\frac{1}{7^4}\cdot\frac{6}{7}}\)
II: 2 pasażerów wysiądzie w danym piętrze a 3 pozostałych na innym: \(\displaystyle{ P=\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{7^3}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{6}{7^4}+\frac{6}{7^5}=\frac{48}{16807}}\)
Wychodzi mi ekstremalnie małe
Moje pytanie jest: czy to zadanie jest zrobione dobrze?

[szachimat]

Przeanalizuj moje sugestie na stronie 384209.htm

[strefa61]

narazie przeanalizowałem w kontekscie a) i nie widze błędu:
możliwości jest \(\displaystyle{ 7^5}\) i każdemu przyporządkowuje inne piętro(ciągi, w których elementy sięnie powtarzają):\(\displaystyle{ 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3}\) i prawdopodobieństwo wychodzi dokładnie takie samo

-- 7 mar 2015, o 23:16 --

W b też prawde mówiąc nie widze błędu-- 8 mar 2015, o 00:09 --Dobra, widze jeden błąd:b)II:
prawdopodobieństwo, że 2 pasażerów wysiądzie na jednym piętrze i przy tym 3 innych wysiądzie na innym ale wszyscy 3 na tym samym jest : \(\displaystyle{ P=\frac{1}{7}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{7^2}}\)
Wtedy prawdopodbieństwo dla przykłądu b) wyjdzie 2 razy większe, mniej więcej: \(\displaystyle{ P=0.2\%}\)

[szachimat]

W takim razie posłużę się tym co pisałem na tamtej stronie:
Gdybyśmy to omówili słownie, to każdej z 5 osób przyporządkowujemy jedno z 7 pięter, stąd otrzymujemy ciągi 5-elementowe z 7, w których elementy mogą się powtarzać. Ich ilość to:
\(\displaystyle{ {7 \choose 1} \cdot {7 \choose 1} \cdot {7 \choose 1} \cdot {7 \choose 1} \cdot {7\choose 1} = 7^{5}=16807}\)
Analizujemy zdarzenie A, że wszystkie osoby wysiadły na różnych piętrach, czyli interesują nas ciągi 5-elementowe z siedmiu, w których elementy się nie powtarzają, czyli:
\(\displaystyle{ {7 \choose 1} \cdot {6\choose 1} \cdot {5 \choose 1} \cdot {4 \choose 1} \cdot {3 \choose 1} =2520}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2520}{16807}= \frac{360}{2401}}\) (czyli miałeś dobrze)

b) Wybieramy najpierw dwa piętra, na \(\displaystyle{ {7 \choose 2}=21}\) sposobów.
Pięć osób wysiada na tych wybranych dwóch piętrach, czyli interesują nas ciągi 5-elementowe z naszych wybranych dwóch, w których elementy się powtarzają, czyli:
\(\displaystyle{ {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} \cdot {2\choose 1} = 2^{5}=32}\)
Od tych układów odejmujemy dwa, gdzie są powtórzenia tylko jednego elementu i tylko drugiego elementu, czyli mamy 30 możliwych rozmieszczeń.
A zatem \(\displaystyle{ P(B)= \frac{21 \cdot 30}{16807}= \frac{90}{2401}}\) (i tutaj miałeś coś źle, ale nie mogę pojąć twojego rozumowania)