Rzucanie kostkami

[gardner]

Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostek,czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach obu kostek? Jak będzie wyglądać \(\displaystyle{ \Omega}\) ?

[squared]

Słownie, symbolicznie nie wygląda to ładnie. Omega składa się z dwóch typów elementów
- zbiory czteroelementowe, elementami są liczby \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6}\) (gdyż rzucamy kostkami jednocześnie, każda kostka jest taka sama) np. \(\displaystyle{ \left\{ 2,4,5,3\right\}}\)
- zbiory złożone ze zbiorów dwuelementowych (których elementami są liczby \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6}\)) np. taki element to \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 1,2\right} \right\}, \left\{ 3,5\right\} \dots \left\{ 6,4\right\}\}}\). Każda dwójka to jeden rzut dwiema kostkami.

[gardner]

Konkretnie chodzi mi o właśnie o zapis liczbowy - nie wiem co się dzieje jak wypadnie np.
\(\displaystyle{ \left\{ 6,4\right\} \left\{ 4,6\right\}}\) Na kostkach to te same wyniki. Jest jakiś wzór do tego,sposób? Można sobie rozpisać na przypadki,ale co jak będę rzucał np.832 kostkami.

[szachimat]

Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostek,czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach obu kostek? Jak będzie wyglądać \(\displaystyle{ \Omega}\) ?

- przy rzucie 4 kostkami
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{\omega: \right \omega=( x_{1}, x_{2},x _{3}, x_{4}):\ x_{i} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}:\ i \in \left\{ 1,2,3,4\right\} \}}\)

- przy 24:
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{\omega: \right \omega=( x_{1}, x_{2},..., x_{24}):\ x_{i} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}:\ i \in \left\{ 1,2,...,24\right\} \}}\)

-przy 832:
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{\omega: \right \omega=( x_{1}, x_{2},..., x_{832}):\ x_{i} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}:\ i \in \left\{ 1,2,...,832\right\} \}}\)

[gardner]

Ta odpowiedź nic mi nie daje. Ten zapis już dawno mam w zeszycie ale do niczego on mi się nie przyda. Jeszcze raz powtórzę: chodzi mi o liczność zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\),tzn. jak ją wyznaczać.

[squared]

Sprecyzuj iloma kostkami rzucamy jednocześnie, bo ja uważam, że jest inaczej niż napisano powyżej

Tutaj chyba rzucamy jednocześnie czterema kostkami, więc mamy najpierw
\(\displaystyle{ \Omega_1=\left\{\omega: \right \omega= \left\{ x_{1}, x_{2},x _{3}, x_{4}\right\} :\ x_{i} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}:\ i \in \left\{ 1,2,3,4\right\}\}}\) (nie ma uporządkowanych par/ciągów)

W drugim przypadku rzucamy dwiema kostkami na raz (24 razy tak robimy), więc też nie jest tak jak napisałeś. Zatem:
\(\displaystyle{ \Omega_2=\left\{\omega: \right \omega=\left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{24}\right\} :\ x_{i} = \left\{ y_{i1},y_{i2}\right\} , y_{i1},y_{i2} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}, i \in \left\{ 1,2,...,24\right\} \}}\)

Jednoczesny rzut czterema kostkami, liczba otrzymanych wyników - kombinacja z powtórzeniami \(\displaystyle{ 4}\) elementów z \(\displaystyle{ 6}\) -\(\displaystyle{ \overline{C_{6}^{4}}}\)

[gardner]

Co najmniej jedna 1 w rzucie 4 kostkami to będzie 3-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru 6 elementowego?

[szachimat]

Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostek,czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach obu kostek? Jak będzie wyglądać \(\displaystyle{ \Omega}\) ?

Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostek,czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach obu kostek? Jak będzie wyglądać \(\displaystyle{ \Omega}\) ?

- przy rzucie 4 kostkami
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{\omega: \right \omega=( x_{1}, x_{2},x _{3}, x_{4}):\ x_{i} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}:\ i \in \left\{ 1,2,3,4\right\} \}}\)

- przy 24:
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{\omega: \right \omega=( x_{1}, x_{2},..., x_{24}):\ x_{i} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}:\ i \in \left\{ 1,2,...,24\right\} \}}\)

-przy 832:
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{\omega: \right \omega=( x_{1}, x_{2},..., x_{832}):\ x_{i} \in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}:\ i \in \left\{ 1,2,...,832\right\} \}}\)

Ślepy nie jestem. A jak masz się rzucać, to pomóż sobie sam. Teraz to ja jeszcze raz powtórzę: Zadałeś pytanie:"Jak będzie wyglądać \(\displaystyle{ \Omega}\)", a uzyskując na nie precyzyjną odpowiedź krytykujesz pisząc:"Jeszcze raz powtórzę: chodzi mi o liczność zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)".

Natomiast jezarek nie masz racji, bo zarówno przy rzucie dwiema kostkami, jak i przy rzucie kolejno jedną kostką dwa razy, przyjmuje się, że wyników jest 36 (i są to uporządkowane pary, bo kostki są z natury rozróżnialne).

[gardner]

]
Ślepy nie jestem. A jak masz się rzucać, to pomóż sobie sam. Teraz to ja jeszcze raz powtórzę: Zadałeś pytanie:"Jak będzie wyglądać \(\displaystyle{ \Omega}\)", a uzyskując na nie precyzyjną odpowiedź krytykujesz pisząc:"Jeszcze raz powtórzę: chodzi mi o liczność zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)".

Jeżeli powtórzenie dla Ciebie mojego źle sprecyzowanego pytania jest krytyką to jeszcze raz przeczytaj mój post.

]
Natomiast jezarek nie masz racji, bo zarówno przy rzucie dwiema kostkami, jak i przy rzucie kolejno jedną kostką dwa razy, przyjmuje się, że wyników jest 36 (i są to uporządkowane pary, bo kostki są z natury rozróżnialne).

Są rozróżnialne z natury? Ktoś to może jeszcze potwierdzić?

[squared]

Przecież jak masz kostkę nr 1 i kostką numer dwa (nie wiem nalepiliśmy na nie numerki jakieś, by je rozróżnić) rzucasz jednocześnie Nimi otrzymujesz na pierwszej \(\displaystyle{ 1}\) na drugiej \(\displaystyle{ 5}\). Potem kolejny rzut, na pierwszej otrzymujesz \(\displaystyle{ 5}\), na drugiej \(\displaystyle{ 1}\). Rzucasz takimi samymi kostkami (taka sama dokładnie, kolor, wielkość itd. - formalnie nie ma na nich numerków, są takie same), więc nie jesteś w stanie określić która, to która. Zatem obie sytuacje to te same zdarzenia. Kostki nie są rozróżnialne.

Jak rzucamy obie na raz to mamy nieuporządkowane pary - obie sytuacje to to samo. Jakbyś zadał zadanie inaczej, powiedział, że rzucamy kolejno jedną, potem drugą, to faktycznie \(\displaystyle{ (1,5) \neq (5,1)}\). Uważam, że nie masz racji w tym swoim rozumowaniu.

Pomyśl sobie życiowo, rzucasz dwiema białymi, takimi samymi kostkami jednocześnie i co... umiesz odróżnić, która jest która? Oczywiście, że nie. Mylisz typ zadania. uporządkowane pary są przy rzucaniu pojedynczo, kolejno po sobie.

Co najmniej jedna 1 w rzucie 4 kostkami to będzie 3-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru 6 elementowego?

Niech \(\displaystyle{ A}\) - co najmniej jedna kostka przy rzucie czterema kostkami da liczbę oczek równą jeden
\(\displaystyle{ A'}\) - zdarzenia przeciwne do \(\displaystyle{ A}\), tzn przy rzucie 4 kostkami na raz nie ma ani jednej jedynki, zatem są to zbiory \(\displaystyle{ \{a,b,c,d\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \{2,3,4,5,6\}}\). Liczba takich zdarzeń to kombinacja z powtórzeniami: \(\displaystyle{ \overline{C_{5}^{4}}}\)
Korzystamy, że
\(\displaystyle{ \blue P(A)=1-P(A')}\)

Drugi rozpatrz samodzielnie.

[szachimat]

jezarek, napisałeś "Pomyśl sobie życiowo, rzucasz dwiema białymi, takimi samymi kostkami jednocześnie i co... umiesz odróżnić, która jest która? Oczywiście, że nie. Mylisz typ zadania. uporządkowane pary są przy rzucaniu pojedynczo, kolejno po sobie."

To ile według ciebie jest możliwości rzutu dwiema kostkami, jeżeli w treści nie podkreślone jednoznacznie, że kostki są nierozróżnialne (dopiero w swoim poście uściślasz treść, ale nie możesz jej zmienić w pościa autora pytania).

Zastanawiam się, co miałby zrobić biedny maturzysta w takiej sytuacji na prawdziwej maturze. Czy posłuchałby ciebie - myślącego życiowo, czy też mnie.

[squared]

"Rzut 4 kostek" nie "4 razy rzucamy kostką", zatem treść sugeruje jednoczesny rzut 4 kostkami jednocześnie, nie kolejno po sobie. Nie czujesz różnicy w tych dwóch sformułowaniach? Przecież one oznaczają kompletnie co innego.

Co do matury. W treści zadania, patrz powyżej jest napisane, czy rzucamy jednocześnie czy kolejno po sobie. Jak jest to drugie, zwykle tak jest, patrząc na treść zadania jest "4 razy rzucamy kostką" to mamy pary uporządkowane, mamy jedną kostkę, więc nie ma problemu rozróżnialności kostek.

W drugim przypadku... ja uważam, jak nie ma słowa "rzut różnymi 4 kostkami", no to są takie same = nierozróżnialne. Napisanie na początku "Zakładam, że kostki są rozróżnialne/nierozróżnialne", myślę, że powinno rozwiązać tego typu kwestie.

Sprawy jak takie zadanie widzi CKE, proszę kierować do CKE lub do osób, które mają uprawnienia egzaminatorskie.

[szachimat]

jezarek - zeby nie przedłużać niepotrzebnej dyskusji: napisałeś "patrząc na treść zadania jest "4 razy rzucamy kostką" to mamy pary uporządkowane"
oraz: "Sprawy jak takie zadanie widzi CKE, proszę kierować do CKE lub do osób, które mają uprawnienia egzaminatorskie." - wnioskuję stąd, że ty takich nie masz, a jeżeli szukasz potwierdzenia swojej racji, to nie odpowiedziałeś na pytanie: "ile według ciebie jest możliwości rzutu dwiema kostkami, jeżeli w treści nie podkreślono jednoznacznie, że kostki są nierozróżnialne", bo w żadnej książce nie znajdziesz takiego wyniku, który byś podał zgodnie ze swoim przekonaniem.

[squared]

Ja nie szukam potwierdzenia mojej racji, mogę jej nawet nie mieć. Nie pisałem nigdzie, że szukam potwierdzenia moich słów.

Z tymi książkami masz rację, ale pytanie, czy to ma sens, w obliczu tego co napisałem? No średnio. Nie mówię, że nie masz racji, mówię o sprzeczności i nieprecyzyjności. Ale faktycznie w zadaniach się przyjmuje, że kostki są różne. Przyjmuje się, zatem jest to umowa pewna niepisana.

[szachimat]

Ja nie szukam potwierdzenia mojej racji, mogę jej nawet nie mieć. Nie pisałem nigdzie, że szukam potwierdzenia moich słów.

Z tymi książkami masz rację, ale pytanie, czy to ma sens, w obliczu tego co napisałem? No średnio. Nie mówię, że nie masz racji, mówię o sprzeczności i nieprecyzyjności. Ale faktycznie w zadaniach się przyjmuje, że kostki są różne. Przyjmuje się, zatem jest to umowa pewna niepisana.

I dopiero teraz z tym się zgadzam. Większość uczniów również uważa to za nieprecyzyjne. Ja również kiedyś na studiach starałem się przekonać jednego doktora, że jest tak jak tutaj pisałeś. Odpowiedział mi tymi magicznymi słowami, których tutaj użyłem "Kostki są z natury rozróżnialne". Długo tego nie mogłem zrozumieć, lecz teraz widzę ich sens. Jeżeli w treści nie jest powiedziane, że są nierozróżnialne, to musimy przyjąć do wiadomości fakt, że już natura zrobiła je rozróżnialnymi (np. jedna jest zarysowana, na drugiej siedziała mucha, itd.). Dlatego nauczyciele widząc taką niejednoznaczną treść, mówią uczniom: jeżeli nawet nie widzicie różnicy, to sobie je pokolorujcie, czy tak jak napisałeś, naklejcie różne numerki.

Podsumowując - podpowiedź dla przyszłych maturzystów - obojętnie czy rzucamy jedną kostką dwa razy, czy dwiema jednocześnie, mamy 36 możliwych wyników, którymi są pary uporządkowane, czyli układ (1,2) i (2,1) są to dwa różne układy. W żadnej książce nie znajdziecie inaczej. Tak uznaje się rozwiązanie na prawdziwej maturze.