Miara probabilistyczna
- izaizaiza
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 9 razy
Miara probabilistyczna
Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie niepustym, przeliczalnym zbiorem. Niech \(\displaystyle{ F}\) oznacza klasę wszystkich jego podzbiorów. Jeśli \(\displaystyle{ p : \omega \rightarrow [0, 1]}\) jest funkcją taką, że \(\displaystyle{ P _{ \omega \in \Omega}p(\omega)=1}\), to pokaż, że \(\displaystyle{ P(A):=P _{ \omega \in A}p(\omega), A \subseteq \Omega}\) definiuje miarę probabilistyczną na \(\displaystyle{ (\Omega, F)}\).
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Miara probabilistyczna
To duże \(\displaystyle{ P}\) wygląda u Ciebie na sumę. Sprawdźmy wszystkie aksjomaty prawdopodobieństwa.
1. Każdy zbiór ma nieujemną miarę. To jest prawda, bo sumujemy same nieujemne wartości (zera lub \(\displaystyle{ p(\omega)}\), które z definicji są z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\)).
2. Zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) ma miarę jeden: to wynika z definicji (napisałaś to już).
3. Przeliczalna addytywność. Tu musisz zauważyć, że gdy weźmiemy rozłączne \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots}\), to każdy z nich możemy zapisać jako sumę zdarzeń elementarnych, \(\displaystyle{ \omega_k}\). Wtedy prawdą będzie:
\(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^\infty A_k = \bigcup_{m=1}^\infty \omega_m}\)
Musisz zapisać argument \(\displaystyle{ P(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)}\) jako sumę tych \(\displaystyle{ \omega_m}\) i skorzystać z definicji (żeby to rozpisać). Końcówka będzie taka:
\(\displaystyle{ P\left(\bigcup_{m=1}^\infty \omega_m\right) = \sum_{m=1}^\infty P(\omega_m) = \sum_{k=1}^\infty P(A_k)}\)
Nie jestem pewna, czy po drodze nie trzeba jeszcze jakoś uzasadniać tego całego przestawiania, ale idea jest właśnie taka.
1. Każdy zbiór ma nieujemną miarę. To jest prawda, bo sumujemy same nieujemne wartości (zera lub \(\displaystyle{ p(\omega)}\), które z definicji są z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\)).
2. Zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) ma miarę jeden: to wynika z definicji (napisałaś to już).
3. Przeliczalna addytywność. Tu musisz zauważyć, że gdy weźmiemy rozłączne \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots}\), to każdy z nich możemy zapisać jako sumę zdarzeń elementarnych, \(\displaystyle{ \omega_k}\). Wtedy prawdą będzie:
\(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^\infty A_k = \bigcup_{m=1}^\infty \omega_m}\)
Musisz zapisać argument \(\displaystyle{ P(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)}\) jako sumę tych \(\displaystyle{ \omega_m}\) i skorzystać z definicji (żeby to rozpisać). Końcówka będzie taka:
\(\displaystyle{ P\left(\bigcup_{m=1}^\infty \omega_m\right) = \sum_{m=1}^\infty P(\omega_m) = \sum_{k=1}^\infty P(A_k)}\)
Nie jestem pewna, czy po drodze nie trzeba jeszcze jakoś uzasadniać tego całego przestawiania, ale idea jest właśnie taka.