warunek na zbieżność

[Yelon]

Pokazać, że \(\displaystyle{ X_{n} \rightarrow ^{s} X \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \ \exists n_{0} \ \forall n>n_{0}\ P(\left| X_{n} - X\right| \ge \varepsilon ) \le \varepsilon}\).
Trochę jest to dla mnie dziwne, jeśli wybiorę \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jakiś tam, to potem dopiero ustalam sobie \(\displaystyle{ n_{0}}\) i z \(\displaystyle{ n}\) większymi od niego mogę sobie zmierzać dowolnie do granicy, ale całość jest mniejsza jedynie od tego już ustalonego epsilona. A w definicji zbieżności stochastycznej idąc do granicy z \(\displaystyle{ n}\) powinienem mieć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } P(...) \rightarrow 0}\)

[Adifek]

Przecież to to samo. Definicja granicy się kłania

Warunek

\(\displaystyle{ \forall \varepsilon_1 >0 \ \forall \varepsilon_2 >0 \ \exists n_{0} \ \forall n>n_{0}\ P(\left| X_{n} - X\right| \ge \varepsilon_1 ) \le \varepsilon_2}\)

jest równoważny temu, który przytoczyłeś

[Yelon]

jeśli mielibyśmy dwa epsilony to okej, ale w zadaniu jest tylko jeden, bez indeksów.

[Adifek]

No więc jako proste ćwiczenie z analizy 1, pokaż, że te definicje są równoważne