Własność prawdopodobieństwa przekroju zbiorów

[cz0rnyfj]

Cześć, potrzebuje pomocy z takim o to zadaniem.

Zadanie
Wykaż, że \(\displaystyle{ P(A^{'} \cap B^{'}) = P(A^{'}) \cdot P(B^{'})}\) jeżeli wiadomo że \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\).

Na pewno \(\displaystyle{ P(A^{'}) = 1 - P(A) \wedge P(B^{'}) = 1 - P(B) \wedge P(A^{'} \cap B^{'}) = P[(A \cup B)^{'}]}\). No i jak próbowałem to przekształcać to mi nie wyszło co trzeba.

[musialmi]

\(\displaystyle{ P(\left( A \cup B\right)' )=1-P(A \cup B)}\), a wzór na prawdopodobieństwo sumy znasz? Pisz wszystko, co wiesz, najlepiej

[cz0rnyfj]

Znam i próbowałem go zastosowac jednak nie udalo sie doprowadzić tego do końca. Mógłby ktoś napisać rozwiązanie żebym mógł je przeanalizować?

[szachimat]

\(\displaystyle{ P(A' \cap B')=P[(A \cup B)']=1-P(A \cup B)=1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)]=1-P(A)-P(B)+P(A) \cdot P(B)=[1-P(A)] \cdot [1-P(B)]=P(A') \cdot P(B')}\)

Szach i Mat