Cześć ;)
Proszę mi rozjaśnić wątpliwości do tego zadania:
1. Z przedziału [0,1] wybieramy losowo przeliczalnie wiele punktów. Udowodnić, że zdarzenie polegające na tym, że każdy podprzedział zawiera co najmniej jeden z wylosowanych punktów ma prawdopodobieństwo 1.
Podaję kontrprzykład:
Niech wylosowany zbiór będzie: \(\displaystyle{ \{ 0,1\}}\) i teraz rozważmy podprzedział \(\displaystyle{ [0,5; 0,7]}\)
Nie zawiera on wcale punku z naszego wylosowanego zbioru.
przedział, wybierane punkty
-
- Użytkownik
- Posty: 459
- Rejestracja: 3 lis 2013, o 12:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 208 razy
- Pomógł: 1 raz
przedział, wybierane punkty
Ostatnio zmieniony 6 mar 2015, o 08:38 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Ten dział pasuje lepiej.
Powód: Ten dział pasuje lepiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 1563
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 243 razy
przedział, wybierane punkty
\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in \RR} \exists_{z \in \RR} x<z<y}\)
stosując ten fakt dwukrotnie możemy stwierdzić, że:
\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in \RR} \exists_{z_1, z_2 \in \RR} x<z_1<z_2<y}\)
z przechodniości relacji zawierania zbiorów mamy:
\(\displaystyle{ [x,y] \subset [0,1] \wedge [z_1, z_2] \subset [x,y] \Rightarrow [z_1, z_2] \subset [0,1]}\)
i to w zasadzie tyle co do dowodu, że między dwoma wybranymi punktami możemy wybrać jeszcze dwa, które wyznaczą podprzedział niezawierający żadnego z pierwotnie wybranych punktów.
stosując ten fakt dwukrotnie możemy stwierdzić, że:
\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in \RR} \exists_{z_1, z_2 \in \RR} x<z_1<z_2<y}\)
z przechodniości relacji zawierania zbiorów mamy:
\(\displaystyle{ [x,y] \subset [0,1] \wedge [z_1, z_2] \subset [x,y] \Rightarrow [z_1, z_2] \subset [0,1]}\)
i to w zasadzie tyle co do dowodu, że między dwoma wybranymi punktami możemy wybrać jeszcze dwa, które wyznaczą podprzedział niezawierający żadnego z pierwotnie wybranych punktów.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
przedział, wybierane punkty
Losujemy nieskończony ciąg punktów z \(\displaystyle{ [0, 1]}\) i mamy pokazać, że prawie na pewno do każdego podprzedziału należy jakiś element tego ciągu. Czyli inaczej, prawie na pewno wylosowany ciąg jest gęsty.
Nie przeczy temu fakt, że można z tego przedziału wylosować dwa punkty i przedział, do którego one nie należą, bo po pierwsze ciąg ma być nieskończony, a po drugie to ma być prawda jedynie prawie na pewno, czyli z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1.}\)
Teza zadania to:
\(\displaystyle{ \mathcal{P} \bigg( \Big\{ x \in [0, 1]^{\NN} : ( \forall a, b \in [0, 1] ) (a < b \implies ( \exists n \in \NN ) (a < x_n < b) ) \Big\} \bigg) = 1.}\)
I podpowiedź: pokazać, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to \(\displaystyle{ 0.}\)
Nie przeczy temu fakt, że można z tego przedziału wylosować dwa punkty i przedział, do którego one nie należą, bo po pierwsze ciąg ma być nieskończony, a po drugie to ma być prawda jedynie prawie na pewno, czyli z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1.}\)
Teza zadania to:
\(\displaystyle{ \mathcal{P} \bigg( \Big\{ x \in [0, 1]^{\NN} : ( \forall a, b \in [0, 1] ) (a < b \implies ( \exists n \in \NN ) (a < x_n < b) ) \Big\} \bigg) = 1.}\)
I podpowiedź: pokazać, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to \(\displaystyle{ 0.}\)