przedział, wybierane punkty

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
matematyka464
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 3 lis 2013, o 12:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 208 razy
Pomógł: 1 raz

przedział, wybierane punkty

Post autor: matematyka464 »

Cześć ;)
Proszę mi rozjaśnić wątpliwości do tego zadania:
1. Z przedziału [0,1] wybieramy losowo przeliczalnie wiele punktów. Udowodnić, że zdarzenie polegające na tym, że każdy podprzedział zawiera co najmniej jeden z wylosowanych punktów ma prawdopodobieństwo 1.
Podaję kontrprzykład:
Niech wylosowany zbiór będzie: \(\displaystyle{ \{ 0,1\}}\) i teraz rozważmy podprzedział \(\displaystyle{ [0,5; 0,7]}\)
Nie zawiera on wcale punku z naszego wylosowanego zbioru.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2015, o 08:38 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Ten dział pasuje lepiej.
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1563
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 243 razy

przedział, wybierane punkty

Post autor: Gouranga »

\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in \RR} \exists_{z \in \RR} x<z<y}\)
stosując ten fakt dwukrotnie możemy stwierdzić, że:
\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in \RR} \exists_{z_1, z_2 \in \RR} x<z_1<z_2<y}\)

z przechodniości relacji zawierania zbiorów mamy:
\(\displaystyle{ [x,y] \subset [0,1] \wedge [z_1, z_2] \subset [x,y] \Rightarrow [z_1, z_2] \subset [0,1]}\)

i to w zasadzie tyle co do dowodu, że między dwoma wybranymi punktami możemy wybrać jeszcze dwa, które wyznaczą podprzedział niezawierający żadnego z pierwotnie wybranych punktów.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

przedział, wybierane punkty

Post autor: Dasio11 »

Losujemy nieskończony ciąg punktów z \(\displaystyle{ [0, 1]}\) i mamy pokazać, że prawie na pewno do każdego podprzedziału należy jakiś element tego ciągu. Czyli inaczej, prawie na pewno wylosowany ciąg jest gęsty.
Nie przeczy temu fakt, że można z tego przedziału wylosować dwa punkty i przedział, do którego one nie należą, bo po pierwsze ciąg ma być nieskończony, a po drugie to ma być prawda jedynie prawie na pewno, czyli z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1.}\)

Teza zadania to:

\(\displaystyle{ \mathcal{P} \bigg( \Big\{ x \in [0, 1]^{\NN} : ( \forall a, b \in [0, 1] ) (a < b \implies ( \exists n \in \NN ) (a < x_n < b) ) \Big\} \bigg) = 1.}\)

I podpowiedź: pokazać, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to \(\displaystyle{ 0.}\)
ODPOWIEDZ