Prawdopodobieństwo rozmieszczenia kulek

[gardner]

Jeżeli r nierozróżnialnych kul rozmieszczono losowo (każde rozmieszczenie jest jednakowo prawdopodobne)
w n pudełkach, to jakie jest prawdopodobieństwo, że:
(a) ustalone pudełko zawiera dokładnie k kul (k ≤ r);

Moje pytanie tyczy się przestrzeni zdarzeń.
Czy to będzie \(\displaystyle{ #\Omega= {n-1+r\choose r-1}}\) ?

Korzystam tutaj ze wzoru na rozmieszczenie r nierozróżnialnych rzeczy w n rozróżnialnych pudełkach.
I z tych "pudełek" wybieram te,gdzie wsadzam kulki. Niestety,nie zgadza się to z odpowiedzią gdyż
\(\displaystyle{ #\Omega={n-1+r\choose r}}\) Gdzie jest mam błąd?

[bartek118]

Po pierwsze - \(\displaystyle{ \Omega}\) to zbiór wszystkich zdarzeń, a nie tych sprzyjających,
Po drugie - mieszasz oznaczenia - piszesz, że zbiór jest równy liczbie, co jest bzdurą totalną.
Po trzecie - stosujesz litery \(\displaystyle{ k, n, r}\) nie do końca wiadomo, co jest co.
Popraw zatem cały zapis i sprecyzuj o co Ci chodzi.

[gardner]

Po trzecie - stosujesz litery \(\displaystyle{ k, n, r}\) nie do końca wiadomo, co jest co.
Popraw zatem cały zapis i sprecyzuj o co Ci chodzi.

Oznaczenia liter są w treści zadania,nie widzę nic nie jasnego.

Wzór na liczność omegi biorę stąd,że "wybieram" pudełka do których wrzucane są kulki. Z resztą się zgodzę,mój błąd.

[szachimat]

Jeżeli mogę się wtrącić, to pierwotnie miałeś w treści dwa razy użytą tą samą literkę, którą edytowałeś (stąd uwaga Bartka). Nie edytuj tego, co napisałeś, a następnie nie wnoś uwag do tego, co ktoś napisał, bo w ten sposób nikt ci nie pomoże.

[gardner]

Tak,zauważyłem to dopiero później (coś przy kopiowaniu zepsułem). Nie chciałem już do tego wracać,ale skoro wywołałeś mnie do tablicy to należy się słowo przepraszam. Odnośnie tematu:jakieś pomysły?

[szachimat]

Skąd w takim razie w pierwszym wyrażeniu pojawia się na dole "\(\displaystyle{ r-1}\)"?

[gardner]

Zrozumiałem swój błąd:

"Moja odpowiedź" zgodna z wzorem,który chciałem wykorzystać powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \Omega= {r+n-1 \choose n-1}}\) Wtedy wszystko się zgadza

[szachimat]

Znalazłeś wzór:

Korzystam tutaj ze wzoru na rozmieszczenie r nierozróżnialnych rzeczy w n rozróżnialnych pudełkach.
I z tych "pudełek" wybieram te,gdzie wsadzam kulki. Niestety,nie zgadza się to z odpowiedzią gdyż
\(\displaystyle{ #\Omega={n-1+r\choose r}}\) Gdzie jest mam błąd?

a przecież w treści masz:

Jeżeli r nierozróżnialnych kul rozmieszczono losowo (każde rozmieszczenie jest jednakowo prawdopodobne) w n pudełkach...

Czemu z niego nie korzystasz?

[gardner]

Moja odpowiedź bierze się stąd,co rozumiem i mam w głowie. Nie bardzo wiem,skąd się bierze tam n-1+r właśnie nad r, ale nad n-1 już jak najbardziej.

[bartek118]

Ale przecież
\(\displaystyle{ {n-1+r\choose r} = {r+n-1 \choose n-1}}\)

[szachimat]

Ale przecież
\(\displaystyle{ {n-1+r\choose r} = {r+n-1 \choose n-1}}\)

A jest to konsekwencja jednego z najbardziej podstawowych wzorów z kombinacji:
\(\displaystyle{ {n \choose k}= {n \choose n-k}}\)

Czyli podsumowując: Skoro znalazłeś dobry wzór, mogłeś z niego skorzystać (stąd moje zapytanie, dlaczego tego nie zrobiłeś). Napisałeś inny i byłoby wszystko dobrze, tylko pomyliłeś literki "n" i "r".
Po poprawieniu tych literek wszystko jest OK (co zauważył Bartek - D.) - zarówno jeden, jak i drugi można stosować.