Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
Z warunku (2) wynika, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń i tylko tyle. Ale \(\displaystyle{ \Omega}\) jako zbiór zdarzeń elementarnych zawsze można przedstawić jako sumę tych zdarzeń \(\displaystyle{ A_i\in\Omega}\) i wtedy \(\displaystyle{ \sum_{i\in\NN}\PP(A_i)=\PP(\Omega)}\) i tak jest zawsze bo to wynika z teorii prawdopodobieństwa.
W zadaniu trzeba zbadać funkcję „kandydatkę” na prawdopodobieństwo, czy spełnia warunki (1) i (2), bo tylko wtedy możemy ją użyć jako taką. I tak Twoja funkcja nie spełnia warunku (1).
Gdyby nawet zrezygnować z przedziału jednostkowego jako przeciwdziedziny prawdopodobieństwa na rzecz przedziału szerszego, ale ograniczonego np. \(\displaystyle{ \left[0; g\right]}\) to z warunku (2) wyjdzie, że \(\displaystyle{ g=+\infty}\), bo szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny. Czyli nawet przy takim podejściu ww. funkcja nie nadaje się na prawdopodobieństwo.
W zadaniu trzeba zbadać funkcję „kandydatkę” na prawdopodobieństwo, czy spełnia warunki (1) i (2), bo tylko wtedy możemy ją użyć jako taką. I tak Twoja funkcja nie spełnia warunku (1).
Gdyby nawet zrezygnować z przedziału jednostkowego jako przeciwdziedziny prawdopodobieństwa na rzecz przedziału szerszego, ale ograniczonego np. \(\displaystyle{ \left[0; g\right]}\) to z warunku (2) wyjdzie, że \(\displaystyle{ g=+\infty}\), bo szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny. Czyli nawet przy takim podejściu ww. funkcja nie nadaje się na prawdopodobieństwo.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
Jeżeli \(\displaystyle{ \PP}\) ma byc prawdopodobieńctwem, to taaka równość musi zachodzić na podstawien warunku 2, bo zbioryPiotrWP pisze:Ale ja się pytam dlaczego z warunki (2) wynika \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=\PP(\{1,2,...\})=\PP(\{1,\dots,N\})+\PP(\{N+1,N+2,\dots\})}\) ? Przecież nie sprawdziliśmy tego przez podaną funkcję tylko tak sobie napisaliśmy.Skąd mamy wiedzieć że akurat dla tej funkcji to zachodzi ?
\(\displaystyle{ \{1,\dots,N\}}\) i \(\displaystyle{ \{N+1,N+2,\dots\}}\) sa rozłączne, a ich sumą jest \(\displaystyle{ \Omega}\) (tu dodajesz DWA zbiory)
A dla tej funkcji to nie zachodzi: od początku pokazuję Ci, że tak określona funkcja nie jest prawdopodobieństwem-- 2 mar 2015, o 21:14 --
W definicji zadanie nie ma przeliczalnej addytywności i nie jest prawdą, że tak jest ZAWSZE.SlotaWoj pisze:Z warunku (2) wynika, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń i tylko tyle. Ale \(\displaystyle{ \Omega}\) jako zbiór zdarzeń elementarnych zawsze można przedstawić jako sumę tych zdarzeń \(\displaystyle{ A_i\in\Omega}\) i wtedy \(\displaystyle{ \sum_{i\in\NN}\PP(A_i)=\PP(\Omega)}\) i tak jest zawsze bo to wynika z teorii prawdopodobieństwa.
Przykład: \(\displaystyle{ \Omega=\NN}\), ciało zbiorów składa się ze zbiorów skończonych i zbiorów o skończonym dopełnieniu.
\(\displaystyle{ \PP(A)=\begin{cases}0 & |A|<\infty\\ 1 & |\Omega\setminus A|< \infty\end{cases}.}\)
Ta funkcja jest skończenie addytywna, ale
\(\displaystyle{ 1=\PP(\NN)\neq \sum_{n\in \NN} \PP(\{n\})=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 124 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
a4karo, czyli my korzystamy z założenia tak jakby ta funkcja rzeczywiście spełniała ten aksjomat ,potem dopiero wykorzystujemy jej wzór i dochodzimy do sprzeczności z którymś z aksjomatów ?
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 124 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
Nie mogłeś tak od razu :> Bo ja to myślałem że to robimy jakoś wprost ,że mamy funkcję i dopiero sprawdzamy czy spełnia aksjomaty.I nie mogłem się połapać
A powiedzmy że akurat trafię na taką funkcję że jednak będzie prawdopodobieństwem ? Wtedy jakoś wprost z aksjomatów trzeba jechać (tak jak pierwotnie myślałem) ,czy znowu jakoś nie wprost (typu zakładamy że nie jest prawdopodobieństwem...)
A powiedzmy że akurat trafię na taką funkcję że jednak będzie prawdopodobieństwem ? Wtedy jakoś wprost z aksjomatów trzeba jechać (tak jak pierwotnie myślałem) ,czy znowu jakoś nie wprost (typu zakładamy że nie jest prawdopodobieństwem...)
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 124 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
No tak ,tylko robimy to wprost czy nie wprost ? Np zakładam że aksjomaty nie zachodzą i dochodzę do sprzeczności.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
wybor metody zależy od rozwiązująćego. Fakt, nie napisałem, że chcę doprowadzic do sprzeczności z założeniami - wydawało mi sie to zbyt oczywiste. Przepraszam za kłopot.
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 124 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
Nie ma problemu. Doświadczonej osobie mogło się to wydawać oczywiste.Ok to mam jeszcze parę pytań :
1.A takie coś :\(\displaystyle{ \PP(\{n\})= \frac{c}{n^2}}\) ,dla pewnego \(\displaystyle{ c\in \RR}\) ?
2.Chciałbym się zapytać o tę addytywność.Czy nie jest prawdą że \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\} \cup \{2\} \cup ...}\) ? Oraz czy nie są te zbiory parami rozłączne ?
3.Czy można by po prostu podać że np: \(\displaystyle{ \PP(\{1\})= \frac{1}{ \sqrt{1} }=1}\) oraz z drugiego warunku to już nam wychodzi to pstwo większe od 1 ?
4.To zadanie dodatkowe ,czy jest dobrze :
\(\displaystyle{ \Omega \cap \emptyset=\emptyset}\) - więc te zbiory są rozłączne
\(\displaystyle{ \PP(\Omega \cup \emptyset)=\PP(\Omega)+\PP(\emptyset)}\)
Ale \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=1 \wedge (\PP(\Omega)+\PP(\emptyset))\in [0,1] \Rightarrow \PP(\emptyset)=0}\)
1.A takie coś :\(\displaystyle{ \PP(\{n\})= \frac{c}{n^2}}\) ,dla pewnego \(\displaystyle{ c\in \RR}\) ?
2.Chciałbym się zapytać o tę addytywność.Czy nie jest prawdą że \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\} \cup \{2\} \cup ...}\) ? Oraz czy nie są te zbiory parami rozłączne ?
3.Czy można by po prostu podać że np: \(\displaystyle{ \PP(\{1\})= \frac{1}{ \sqrt{1} }=1}\) oraz z drugiego warunku to już nam wychodzi to pstwo większe od 1 ?
4.To zadanie dodatkowe ,czy jest dobrze :
\(\displaystyle{ \Omega \cap \emptyset=\emptyset}\) - więc te zbiory są rozłączne
\(\displaystyle{ \PP(\Omega \cup \emptyset)=\PP(\Omega)+\PP(\emptyset)}\)
Ale \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=1 \wedge (\PP(\Omega)+\PP(\emptyset))\in [0,1] \Rightarrow \PP(\emptyset)=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
1. Tak, ale tylko dla \(\displaystyle{ c=6/\pi^2}\) (zgadnij dlaczego).
2. tak
3. tak
4 nie tak od razu, bo wymaga uzasadnienia warunek \(\displaystyle{ \PP(\Omega)+\PP(\emptyset)\in[0,1]}\). Lepiej napisać tak
\(\displaystyle{ 1=\PP(\Omega)=\PP(\Omega\cup\emptyset)=\PP(\Omega)+\PP(\emptyset)=1+\PP(\emptyset)}\), więc...
2. tak
3. tak
4 nie tak od razu, bo wymaga uzasadnienia warunek \(\displaystyle{ \PP(\Omega)+\PP(\emptyset)\in[0,1]}\). Lepiej napisać tak
\(\displaystyle{ 1=\PP(\Omega)=\PP(\Omega\cup\emptyset)=\PP(\Omega)+\PP(\emptyset)=1+\PP(\emptyset)}\), więc...
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 124 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
2.Tak w sensie że nie jest prawdą podana równość czy nie są rozłączne ? Czy to i to ?
1.Nie mam pojęcia.Zupełnie nie wiem jak to pokazać.Tam chociaż założyliśmy że funkcja jak ma by pstwem to spełnia warunki a dopiero potem sprzeczność.Tutaj chyba tak nie można ,tylko od razu trzeba pokazać że je spełnia.
1.Nie mam pojęcia.Zupełnie nie wiem jak to pokazać.Tam chociaż założyliśmy że funkcja jak ma by pstwem to spełnia warunki a dopiero potem sprzeczność.Tutaj chyba tak nie można ,tylko od razu trzeba pokazać że je spełnia.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
2 tak i tak
1 tak, bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\) (to zapewnia spełnienie pierwszego warunku)
1 tak, bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\) (to zapewnia spełnienie pierwszego warunku)
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 124 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
2.A jakieś uzasadnienia co do tego ? No bo ja bym sobie rękę uciąć że to prawdziwa równość i że są rozłączne parami.
1.Ale od czego wychodzimy ? Przecież mamy pokazać oba warunki.
1.Ale od czego wychodzimy ? Przecież mamy pokazać oba warunki.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
Zadajesz pytanie w sposób, który utrudnia formułowanie odpowiedzi (pytanie o zaprzeczenie), a tym samym porozumienie.PiotrWP pisze:2.Chciałbym się zapytać o tę addytywność.Czy nie jest prawdą że \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\}\cup\{2\}\cup ...}\) ? Oraz czy nie są te zbiory parami rozłączne ?
Nie będzie problemu, gdy pytanie zostanie sformułowane tak:
- ...Czy jest prawdą że \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\}\cup\{2\}\cup \dots}\) ? Oraz czy są te zbiory parami rozłączne ?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa
2 jest tak trywialne, że aż nie wiem jak to wytłumaczyć
No dobra: Twierdzenie. \(\displaystyle{ A= \bigcup_{}^{} _{x\in A} \{x\}}\)
Dowód
Dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) mamy \(\displaystyle{ \{x\}\subset A}\), więc prawa strona zawiera sie w lewej. Jeżeli \(\displaystyle{ y\in \bigcup _{x\in A} \{x\}}\) to istnieje takie \(\displaystyle{ x\in A}\), że \(\displaystyle{ y\in\{x\}}\), zatem \(\displaystyle{ y=x}\), więć lewa strona zawiera sie w prawej.
Zbiory \(\displaystyle{ \{x\}}\) i \(\displaystyle{ \{y\}}\) są rozłaczne wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x\neq y}\)
1. Jeżeli okreslisz funkcję takim wzorem jak okresliłeś, to jest ona nie tylko addytywna, ale i przeliczalnie addytywna (bo każdy zbiór jest sumą swoich jednoelementowych podzbiorów)
No dobra: Twierdzenie. \(\displaystyle{ A= \bigcup_{}^{} _{x\in A} \{x\}}\)
Dowód
Dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) mamy \(\displaystyle{ \{x\}\subset A}\), więc prawa strona zawiera sie w lewej. Jeżeli \(\displaystyle{ y\in \bigcup _{x\in A} \{x\}}\) to istnieje takie \(\displaystyle{ x\in A}\), że \(\displaystyle{ y\in\{x\}}\), zatem \(\displaystyle{ y=x}\), więć lewa strona zawiera sie w prawej.
Zbiory \(\displaystyle{ \{x\}}\) i \(\displaystyle{ \{y\}}\) są rozłaczne wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x\neq y}\)
1. Jeżeli okreslisz funkcję takim wzorem jak okresliłeś, to jest ona nie tylko addytywna, ale i przeliczalnie addytywna (bo każdy zbiór jest sumą swoich jednoelementowych podzbiorów)