Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: SlotaWoj »

Z warunku (2) wynika, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń i tylko tyle. Ale \(\displaystyle{ \Omega}\) jako zbiór zdarzeń elementarnych zawsze można przedstawić jako sumę tych zdarzeń \(\displaystyle{ A_i\in\Omega}\) i wtedy \(\displaystyle{ \sum_{i\in\NN}\PP(A_i)=\PP(\Omega)}\) i tak jest zawsze bo to wynika z teorii prawdopodobieństwa.

W zadaniu trzeba zbadać funkcję „kandydatkę” na prawdopodobieństwo, czy spełnia warunki (1) i (2), bo tylko wtedy możemy ją użyć jako taką. I tak Twoja funkcja nie spełnia warunku (1).

Gdyby nawet zrezygnować z przedziału jednostkowego jako przeciwdziedziny prawdopodobieństwa na rzecz przedziału szerszego, ale ograniczonego np. \(\displaystyle{ \left[0; g\right]}\) to z warunku (2) wyjdzie, że \(\displaystyle{ g=+\infty}\), bo szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny. Czyli nawet przy takim podejściu ww. funkcja nie nadaje się na prawdopodobieństwo.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: a4karo »

PiotrWP pisze:Ale ja się pytam dlaczego z warunki (2) wynika \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=\PP(\{1,2,...\})=\PP(\{1,\dots,N\})+\PP(\{N+1,N+2,\dots\})}\) ? Przecież nie sprawdziliśmy tego przez podaną funkcję tylko tak sobie napisaliśmy.Skąd mamy wiedzieć że akurat dla tej funkcji to zachodzi ?
Jeżeli \(\displaystyle{ \PP}\) ma byc prawdopodobieńctwem, to taaka równość musi zachodzić na podstawien warunku 2, bo zbiory
\(\displaystyle{ \{1,\dots,N\}}\) i \(\displaystyle{ \{N+1,N+2,\dots\}}\) sa rozłączne, a ich sumą jest \(\displaystyle{ \Omega}\) (tu dodajesz DWA zbiory)

A dla tej funkcji to nie zachodzi: od początku pokazuję Ci, że tak określona funkcja nie jest prawdopodobieństwem-- 2 mar 2015, o 21:14 --
SlotaWoj pisze:Z warunku (2) wynika, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń i tylko tyle. Ale \(\displaystyle{ \Omega}\) jako zbiór zdarzeń elementarnych zawsze można przedstawić jako sumę tych zdarzeń \(\displaystyle{ A_i\in\Omega}\) i wtedy \(\displaystyle{ \sum_{i\in\NN}\PP(A_i)=\PP(\Omega)}\) i tak jest zawsze bo to wynika z teorii prawdopodobieństwa.
W definicji zadanie nie ma przeliczalnej addytywności i nie jest prawdą, że tak jest ZAWSZE.
Przykład: \(\displaystyle{ \Omega=\NN}\), ciało zbiorów składa się ze zbiorów skończonych i zbiorów o skończonym dopełnieniu.
\(\displaystyle{ \PP(A)=\begin{cases}0 & |A|<\infty\\ 1 & |\Omega\setminus A|< \infty\end{cases}.}\)

Ta funkcja jest skończenie addytywna, ale
\(\displaystyle{ 1=\PP(\NN)\neq \sum_{n\in \NN} \PP(\{n\})=0}\)
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: PiotrWP »

a4karo, czyli my korzystamy z założenia tak jakby ta funkcja rzeczywiście spełniała ten aksjomat ,potem dopiero wykorzystujemy jej wzór i dochodzimy do sprzeczności z którymś z aksjomatów ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: a4karo »

Dokładnie tak. Klasyczny schemat dowodu przez sprowadzenie do sprzeczności.
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: PiotrWP »

Nie mogłeś tak od razu :> Bo ja to myślałem że to robimy jakoś wprost ,że mamy funkcję i dopiero sprawdzamy czy spełnia aksjomaty.I nie mogłem się połapać

A powiedzmy że akurat trafię na taką funkcję że jednak będzie prawdopodobieństwem ? Wtedy jakoś wprost z aksjomatów trzeba jechać (tak jak pierwotnie myślałem) ,czy znowu jakoś nie wprost (typu zakładamy że nie jest prawdopodobieństwem...)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: a4karo »

Jak bedzie, to musisz pokazac, że spełnia aksjomaty.
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: PiotrWP »

No tak ,tylko robimy to wprost czy nie wprost ? Np zakładam że aksjomaty nie zachodzą i dochodzę do sprzeczności.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: a4karo »

wybor metody zależy od rozwiązująćego. Fakt, nie napisałem, że chcę doprowadzic do sprzeczności z założeniami - wydawało mi sie to zbyt oczywiste. Przepraszam za kłopot.
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: PiotrWP »

Nie ma problemu. Doświadczonej osobie mogło się to wydawać oczywiste.Ok to mam jeszcze parę pytań :
1.A takie coś :\(\displaystyle{ \PP(\{n\})= \frac{c}{n^2}}\) ,dla pewnego \(\displaystyle{ c\in \RR}\) ?
2.Chciałbym się zapytać o tę addytywność.Czy nie jest prawdą że \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\} \cup \{2\} \cup ...}\) ? Oraz czy nie są te zbiory parami rozłączne ?
3.Czy można by po prostu podać że np: \(\displaystyle{ \PP(\{1\})= \frac{1}{ \sqrt{1} }=1}\) oraz z drugiego warunku to już nam wychodzi to pstwo większe od 1 ?
4.To zadanie dodatkowe ,czy jest dobrze :
\(\displaystyle{ \Omega \cap \emptyset=\emptyset}\) - więc te zbiory są rozłączne
\(\displaystyle{ \PP(\Omega \cup \emptyset)=\PP(\Omega)+\PP(\emptyset)}\)
Ale \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=1 \wedge (\PP(\Omega)+\PP(\emptyset))\in [0,1] \Rightarrow \PP(\emptyset)=0}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: a4karo »

1. Tak, ale tylko dla \(\displaystyle{ c=6/\pi^2}\) (zgadnij dlaczego).
2. tak
3. tak
4 nie tak od razu, bo wymaga uzasadnienia warunek \(\displaystyle{ \PP(\Omega)+\PP(\emptyset)\in[0,1]}\). Lepiej napisać tak
\(\displaystyle{ 1=\PP(\Omega)=\PP(\Omega\cup\emptyset)=\PP(\Omega)+\PP(\emptyset)=1+\PP(\emptyset)}\), więc...
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: PiotrWP »

2.Tak w sensie że nie jest prawdą podana równość czy nie są rozłączne ? Czy to i to ?
1.Nie mam pojęcia.Zupełnie nie wiem jak to pokazać.Tam chociaż założyliśmy że funkcja jak ma by pstwem to spełnia warunki a dopiero potem sprzeczność.Tutaj chyba tak nie można ,tylko od razu trzeba pokazać że je spełnia.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: a4karo »

2 tak i tak
1 tak, bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\) (to zapewnia spełnienie pierwszego warunku)
PiotrWP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 7 paź 2014, o 21:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 124 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: PiotrWP »

2.A jakieś uzasadnienia co do tego ? No bo ja bym sobie rękę uciąć że to prawdziwa równość i że są rozłączne parami.
1.Ale od czego wychodzimy ? Przecież mamy pokazać oba warunki.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: SlotaWoj »

PiotrWP pisze:2.Chciałbym się zapytać o tę addytywność.Czy nie jest prawdą że \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\}\cup\{2\}\cup ...}\) ? Oraz czy nie są te zbiory parami rozłączne ?
Zadajesz pytanie w sposób, który utrudnia formułowanie odpowiedzi (pytanie o zaprzeczenie), a tym samym porozumienie.

Nie będzie problemu, gdy pytanie zostanie sformułowane tak:
  • ...Czy jest prawdą że \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\}\cup\{2\}\cup \dots}\) ? Oraz czy te zbiory parami rozłączne ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

Post autor: a4karo »

2 jest tak trywialne, że aż nie wiem jak to wytłumaczyć

No dobra: Twierdzenie. \(\displaystyle{ A= \bigcup_{}^{} _{x\in A} \{x\}}\)
Dowód
Dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) mamy \(\displaystyle{ \{x\}\subset A}\), więc prawa strona zawiera sie w lewej. Jeżeli \(\displaystyle{ y\in \bigcup _{x\in A} \{x\}}\) to istnieje takie \(\displaystyle{ x\in A}\), że \(\displaystyle{ y\in\{x\}}\), zatem \(\displaystyle{ y=x}\), więć lewa strona zawiera sie w prawej.

Zbiory \(\displaystyle{ \{x\}}\) i \(\displaystyle{ \{y\}}\) są rozłaczne wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x\neq y}\)

1. Jeżeli okreslisz funkcję takim wzorem jak okresliłeś, to jest ona nie tylko addytywna, ale i przeliczalnie addytywna (bo każdy zbiór jest sumą swoich jednoelementowych podzbiorów)
ODPOWIEDZ