Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

[PiotrWP]

Funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{P}:2 ^{\Omega} \rightarrow [0,1]}\) jest prawdopodobieństwem jeśli są spełnione następujące warunki:
1)\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\Omega)=1}\)
2)\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}} }\mathbb{P}(A_n)}\) ,dla wszystkich \(\displaystyle{ A_1,A_2,..., \subseteq \Omega(\in 2 ^{\Omega})}\) parami rozłącznych.

Mógłby ktoś wytłumaczyć o co chodzi w tej definicji ? Najlepiej na jakimś przykładzie

[szachimat]

Jest to aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, a trudno jest wytłumaczyć aksjomaty (coś co uznaje się za pewnik).
Można tylko dokonywać bardziej lub mniej precyzyjnego opisu słownego.

Przyjmuje się, że prawdopodobieństwo jest pewną funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\) (na przestrzeni zdarzeń elementarnych).
Za pewniki przyjmuje się, że wartości tej funkcji są liczbami rzeczywistymi z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0;1\right\rangle}\), oraz dla dowolnych zdarzeń rozłącznych A,B z przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)}\). Przyjmuje się również, że wartość tej funkcji dla omegi wynosi 1 (to są właśnie te aksjomaty, które trzeba przyjąć na wiarę).

Może komuś uda się to precyzyjniej opisać.

[PiotrWP]

Ale czym właściwie ta funkcja jest ?.No powiedzmy że rzucamy raz symetryczną monetą \(\displaystyle{ \Omega=\{O,R\} \Rightarrow 2 ^{\Omega}=\{\emptyset,O,R,\{O,R\}\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}:\{\emptyset,O,R,\{O,R\}\} \rightarrow [0,1]}\)
Czyli to jest taka funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) że każdemu elementowi ze zbioru \(\displaystyle{ \{\emptyset,O,R,\{O,R\}\}}\) przyporządkowuje wartość ze zbioru \(\displaystyle{ [0,1]}\) ?

[szachimat]

Ale czym właściwie ta funkcja jest ?.No powiedzmy że rzucamy raz symetryczną monetą \(\displaystyle{ \Omega=\{O,R\} \Rightarrow 2 ^{\Omega}=\{\emptyset,O,R,\{O,R\}\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}:\{\emptyset,O,R,\{O,R\}\} \rightarrow [0,1]}\)
Czyli to jest taka funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) że każdemu elementowi ze zbioru \(\displaystyle{ \{\emptyset,O,R,\{O,R\}\}}\) przyporządkowuje wartość ze zbioru \(\displaystyle{ [0,1]}\) ?

Tak to można interpretować (rozumiem, że para \(\displaystyle{ \left\{ O,R\right\}}\) oznacza \(\displaystyle{ O lub R}\))

[a4karo]

Dla przykładu
Jeżeli okreslisz \(\displaystyle{ \PP(O)=1/3}\), to masz jedyne możliwe rozszerzenie tej funkcji do prawdopodobieństwa. Pomyśl ile musi byc równe \(\displaystyle{ \PP(\emptyset), \PP(R), \PP(\Omega)}\)?

[PiotrWP]

\(\displaystyle{ \PP(\emptyset)=0, \PP(R)=\frac{2}{3} , \PP(\Omega)=1}\) ? A nie powinno być czasem \(\displaystyle{ \PP\left(\overline{\overline{\Omega}}\right)}\) ?

[a4karo]

Nie, bo \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) nie jest elementem ciałą zbiorów, lecz liczbą.

[PiotrWP]

A jak rozumieć ten drugi warunek w kontekście powyższego przykładu ?

[a4karo]

Włąśnie bo wykorzystałeś: \(\displaystyle{ O\cap R=\emptyset}\) i \(\displaystyle{ O\cup R=\Omega}\), wiec musi być
\(\displaystyle{ \PP(O)+\PP(R)=\PP(\Omega)=1}\). Stąd \(\displaystyle{ \PP(R)=2/3}\).

To tak jak być patrzył na pola: suma pól rozłacznych obszarów to pole sumy tych obszarów.

Zadanie dla Ciebie: uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \PP}\) jest prawdopodobieństwem, to musi zachodzić \(\displaystyle{ \PP(\emptyset)=0}\)

[musialmi]

Ten drugi warunek mówi: prawdopodobieństwo sumy jest sumą prawdopodobieństw, jeśli zdarzenia są rozłączne. Na przykład: mamy liczby od 1 do 10. Zdarzeniami rozłącznymi są na przykład: wylosowanie liczby parzystej lub jedynki. Natomiast nierozłącznymi na przykład: wylosowanie liczby parzystej lub podzielnej przez dwa.

[PiotrWP]

No w sumie chyba też musi być :\(\displaystyle{ \PP(\{O,R\})=0}\) ? Nie wiem ja to ściśle udowodnić.Nie wprost ,czy jak...


A jak się sprawdza takie warunki w praktyce ? Np: mam takie zadanie :
Niech \(\displaystyle{ \Omega=\NN}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{F}=2 ^{\Omega}}\).Czy jest prawdopodobieństwem funkcja \(\displaystyle{ \PP \ : \ \mathcal{F} \rightarrow [0,1]}\) określona wzorem :
a)\(\displaystyle{ \PP(\{n\})= \frac{1}{ \sqrt{n} }\dla\ n\in\NN}\) ?

[a4karo]

No w sumie chyba też musi być :\(\displaystyle{ \PP(\{O,R\})=0}\) ? Nie wiem ja to ściśle udowodnić.Nie wprost ,czy jak...

Przecież to jest cała przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\). Jak może byc \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=0}\)?

A jak się sprawdza takie warunki w praktyce ? Np: mam takie zadanie :
Niech \(\displaystyle{ \Omega=\NN}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{F}=2 ^{\Omega}}\).Czy jest prawdopodobieństwem funkcja \(\displaystyle{ \PP \ : \ \mathcal{F} \rightarrow [0,1]}\) określona wzorem :
a)\(\displaystyle{ \PP(\{n\})= \frac{1}{ \sqrt{n} }\dla\ n\in\NN}\) ?

Zbiory \(\displaystyle{ A_n=\{n\}}\) są rozłączne. Oblicz \(\displaystyle{ \PP(\{1,2,\dots,N\})}\).
Wsk. \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n}>\sqrt n}\)

[musialmi]

No to po kolei. Ile wynosi \(\displaystyle{ P(\Omega)}\)?

A co do udowodnienia, że \(\displaystyle{ P(\varnothing)=0}\), to rozpocznij od \(\displaystyle{ P(\Omega \cup \varnothing)}\)

[PiotrWP]

Ale to jest w sensie że \(\displaystyle{ \Omega=\{O,R\}}\) ?

Co do tego przykładu co podałem to wychodzi że to jest chyba szereg rozbieżny ,więc na pewno suma szeregu jest większa od 1.Więc nie jest.Tak ?

A jakby sprawdzić mimo wszystko ten pierwszy warunek ?

[a4karo]

No włąśnie pierwszy warunek nie może być spełniony:
Skoro \(\displaystyle{ \PP(\{1,\dots,N\})>1}\) dla dużych \(\displaystyle{ N}\), to z warunku 2 i nieujemnośći \(\displaystyle{ \PP}\) mamy \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=\PP(\{1,\dots,N\})+\PP(\{N+1,N+2,\dots\})>1}\).