Definicja funkcji jako prawdopodobieństwa

[PiotrWP]

2.Chyba się znowu nie rozumiemy.No ,dla mnie równość \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\} \cup \{2\} \cup ...}\) jest PRAWDZIWA i zbiory \(\displaystyle{ \{1\},\{2\},...}\) są PARAMI ROZŁĄCZNE.A zdaje się że to udowodniłeś

1.Ale co ja mam właściwie zrobić ? Mamy np: pierwszy warunek :
\(\displaystyle{ \PP(\Omega)=\PP(\NN)}\) i jak teraz to sprawdzić ? Bo wcześniej rozbiliśmy na dwa rozłączne zbiory i skorzystaliśmy z drugiego warunku.Ale drugi warunek musimy udowodnić.

[a4karo]

1. To sobie odpowiedz na pytanie: na jakim ciele zbiorów ma byc określona funkcja \(\displaystyle{ \PP}\)?

NAturalne rozszerzenie Twojej definicji na wszystkie podzbiory \(\displaystyle{ \NN}\) jest takie:
\(\displaystyle{ P(A)=\sum_{n\in A}\PP(\{n\})}\). Tak zdefiniowana funkcja spełnia warunek drugi (sprawdź to!). Co więcej - spełnia ten warunek dla przeliczalnych sum rozłacznych zbiorów. Jedyne do zostaje do pokazania to fakt, że \(\displaystyle{ \PP(\Omega)=1}\), a to wynika z sumy szeregu, którą Ci pokazałem.

2.Chyba się znowu nie rozumiemy.No ,dla mnie równość {1,2,...}= {1} cup {2} cup ... jest PRAWDZIWA i zbiory {1},{2},... są PARAMI ROZŁĄCZNE.A zdaje się że to udowodniłeś

A to piszesz do mnie, czy do SlotaWoj ?

[PiotrWP]

1.Ale jak to ma się do \(\displaystyle{ \PP(\{n\})}\).Zupełnie nie wiem co tu się dzieje :/.Czym jest \(\displaystyle{ A}\) ? Nie da się tego drugiego warunku jakoś bezpośrednio sprawdzić ,zamiast budować jakieś nowe funkcje ?

2.Do Pana.

[a4karo]

1. Określiłeś wartość funkcji \(\displaystyle{ \PP}\) na zbiorach jednoelementowych. Czy potrafisz powiedzieć ile wynosi jej wartośc nnp. na zbiorze wszystkich liczb parzystych?. \(\displaystyle{ A}\) jest tam dowolnym podzbiorem zbioru liczb naturalych

2. Skoro do mnie i wiesz, że te dwa zbiory są równe a zbiory jednoelementowe sa rozłaczne, to po co o to pytasz?

[PiotrWP]

2.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{n\}\right)=\mathbb{P}\left(\{1\} \cup \{2\} \cup ...\right)=\mathbb{P}\left(\{1,2,...\}\right)}\)

To jest nieuprawnione: masz załozona własnośc addytywnosci tylko dla skonczonej sumy zbiorów rozłącznych, więc nic nie możesz powiedzieć o nieskończonej sumie

Po to chyba zresztą dzieliliśmy zresztą zbiór liczb naturalnych na dwa zbiory z czego jeden był skończony i oba rozłączne.

1.Nie bo jest zbiór nieskończony (pewnie przeliczalny) i nie wiem.

[a4karo]

1. no tpo musisz sobie poczyta,c aksjomatykę zbiorów

2. Myslałem,że tamten temat już zamknęliśmy,

Pytasz teraz co z funkcją \(\displaystyle{ \PP(\{n\})=c/n^2}\). No to podałem Ci możliwość rozszerzenia tej definicji na wszystkie podzbiory. Jeżeli nie jesteś z niej zadowolony, zaproponuj swoją.
Zauważ, że podanie wartości na zbiorach jednoelementowych BEZ założenia przeliczalnej addytywnośći nie pozwala na określenie wartości tej funkcji np na zbiorze liczb parzystych. Dlatego pytałem, jaką wartość na tym zbiorze ma przyjmowac Twoja funkcja.

[PiotrWP]

1,Ale jak to jest możliwe że prawdziwe jest \(\displaystyle{ \{1,2,...\}= \{1\}\cup\{2\}\cup \dots}\) oraz że te zbiory są parami rozłączne ,a nie jest prawdą że \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{n\}\right)=\mathbb{P}\left(\{1\} \cup \{2\} \cup ...\right)=\mathbb{P}\left(\{1,2,...\}\right)}\) ?

2.W takim razie co gwarantuje przeliczalną addytywność ? Bo tam to rozbiliśmy na dwa zbiory i jeden był skończony ,więc działało.

[a4karo]

1 Ależ mieszasz tematy. Podałem ci przykład ciała w \(\displaystyle{ 2^\NN}\) i funkcji na nim, która spełnia warunek addytywności, ale nie spełnia warunku przeliczalnej addytywności. Przyczyna był fakt, że przeliczalna suma zbiorów rozłącznych z ciałą nie musi do niego należeć (np. zbiór liczb parzystych).
W tym przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{n\}\right)\neq\mathbb{P}\left(\{1\} \cup \{2\} \cup ...\right)=\mathbb{P}\left(\{1,2,...\}\right) ?}\)

Pamiętaj, że mówiąc o funkcji prawdopodobienstwa musisz ją określić na wszystkich elementach ciała.
Jeżeli określisz ją TYLKO na podzbiorach jednoelementowych, to warunek addytywności powoduje, że będziesz znał jej wartość tylko na zbiorach skończonych (bo każdy zbiór skończony jest skończoną sumą zbiorów jednoelementowych) oraz na zbiorach o skończonym dopełnieniu. (bo jeżeli \(\displaystyle{ A\subset\NN}\) ma skończone dopełnienie, to \(\displaystyle{ \NN=A\bigcup (\\N\setminus A)}\) jest rozłaczną sumą, więc \(\displaystyle{ 1=\PP(\NN)=\PP(A)+\PP(\\N\setminus A)}\), a ten ostatni skłądnik znamy bo zbiór jest skonczony).

Nic natomiast nie będziesz w stanie powiedziec o wartości funkcji prawdopodobieństwa np na zbiorze liczb pierwszych. (To mniej więcej tak, jakbyś chciał zdefiniowac funkcję, ale znał jej wartości tylko na koncach przedziału )

Przeliczalna addytywność jest, albo jej nie ma. Nie znam kryteriów, które pozwalałyby stwierdzić czy dana funkcja addydtywna spełnia ten warunek (pewnie jakis teoriomiarowiec mógłby się tu wypowiedzieć).

Jeżeli okreslisz funkcje prawdopodobienstwa tylko na jednoelementowych podzbiorach, to NATURALNYM rozszerzeniem na wszystkie podzbiory jest konstrukcja, o której pisałem wcześniej: wartośc na zbiorze, to suma wartości na wszystkich elementach zbioru. Ale takie rozszerzenie nie zawsze się powiedzie (np. nie da się tego zrobić w przypadku gdy dla każdego \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ \PP(\{n\})=0}\).). Uda się to tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sum_n \PP(\{n\})=1}\). (stąd tu magiczne \(\displaystyle{ 6/\pi^2}\)).

Aby trochę zrozumieć istotę funkcji prawdopodobienstwa pokaż jej parę podstawowych własnośći: np
\(\displaystyle{ A\subset B \Rightarrow \PP(A)\leq \PP(B)}\)
\(\displaystyle{ \PP(A\cup B)\leq \PP(A)+\PP(B)}\)

[SlotaWoj]

... Podałem ci przykład ciała w \(\displaystyle{ 2^\NN}\) i funkcji na nim, która spełnia warunek addytywności, ale nie spełnia warunku przeliczalnej addytywności. Przyczyna był fakt, że przeliczalna suma zbiorów rozłącznych z ciałą nie musi do niego należeć (np. zbiór liczb parzystych).
W tym przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{n\}\right)\neq\mathbb{P}\left(\{1\} \cup \{2\} \cup ...\right)=\mathbb{P}\left(\{1,2,...\}\right) ?}\)

Proszę podać przykład.

[a4karo]

czytaj wyżej w tym wątku